Théorèmes de points fixes dans le cas non compact et application à l'Economie Mathématique - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Rapport Année : 2000

Fixed points theorems in the non-compact case and application to Mathematical Economics

Théorèmes de points fixes dans le cas non compact et application à l'Economie Mathématique

Lynda Farza

Résumé

The starting point of the fixed point theory is Brower's theorem (1912), which could be extended to multivariate functions (also called correspondences) defined on a convex and compact subset, with non-empty convex values and verifying a continuity condition, following the generalization, by Fan (1961), of the Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz lemma (known as the KKM lemma) to the topological vectorial spaces. This result can be interpreted as a result of the existence of maximal elements frequently used in game theory and mathematical economics (Monique Florenzano (1980) - Gerard Debreu (1982)). Several works then followed to extend these results to correspondences not necessarily defined on a compact set. Brower's theorem has been extended to multi-shell functions (also called correspondences) defined on a convex and compact subset, with non-empty convex values and verifying a continuity condition, following the generalisation, by Fan (1961), of the Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz lemma (known as the KKM lemma) to topological vector spaces. This result can be interpreted as a result of the existence of maximal elements frequently used in game theory and mathematical economics (Monique Florenzano (1980) - Gerard Debreu (1982)). Several works then followed to extend these results to correspondences not necessarily defined on a compact set. In a first step, I propose to put in order the results of the existence of fixed points and maximal elements, which have been advanced in the literature, in the non-compact case. For this purpose, the notion of covering a correspondence is introduced to give a generalized version of the Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (1984) lemma which is used to prove the existence of fixed points for correspondences defined on a convex non-empty subset of a separate topological vector space. An existence result of maximal elements for irreflexive preference matches defined on a not necessarily compact set is deduced. As a corollary, we obtain the corresponding results of Browder-Fan (1968), Shafer-Sonnschien (1975), Borglin-Keiding (1976), Tarafdar (1977), Border (1985), Mehta (1987), Tan-Yuan (1993) and Ding-Tan (1993). In a second step, I used the maximum element existence result obtained in the first step to prove the existence of equilibrium in qualitative games with an infinite number of agents for preference matches defined on a convex subset of a topologically separated vector space and satisfying an overlap condition. This allowed establishing the existence of equilibrium in generalized games (or abstract economy) with non-compact choice sets. The results obtained generalise the corresponding results of Gales-Mas Collel (1975), Yannelis and Prabakar (1983), Toussaint (1984), Tulcea (1988) and Ding-Tan (1993).
Le point de départ de la théorie du point fixe est le théorème de Brower (1912), ce dernier a pu être étendu aux fonctions multivoques (appelées aussi correspondances) définies sur un sous-ensemble convexe et compact, à valeurs convexes non vides et vérifiant une condition de continuité, et ceci à la suite de la généralisation, par Fan (1961), du lemme de Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz (dit lemme KKM) aux espaces vectoriels topologiques. Ce résultat peut être interprété comme un résultat d'existence d'éléments maximaux fréquemment utilisé en théorie des jeux et en économie mathématique (Monique Florenzano (1980) - Gerard Debreu (1982)). Plusieurs travaux se sont alors succédés pour étendre ces résultats aux correspondances non nécessairement définies sur un ensemble compact. Dans une première étape je me suis proposée de mettre en ordre les résultats d‘existence de points fixes et d’éléments maximaux, qui ont été avancées dans la littérature, dans le cas non compact. Pour cela, la notion de recouvrement d'une correspondance est introduite pour en donner une version généralisée du lemme de Knaster-Kuratowski- Mazurkiewicz (1984) qu'on utilise pour démontrer l'existence de points fixes pour des correspondances définies sur un sous-ensemble non vide et convexe d'un espace vectoriel topologique séparé. Un résultat d'existence d'éléments maximaux pour des correspondances de préférences irreflexives définies sur un ensemble non nécessairement compact est déduit. On obtient comme corollaire les résultats correspondants de Browder-Fan (1968), Shafer-Sonnschien (1975), Borglin-Keiding (1976), Tarafdar (1977), Border (1985), Mehta (1987), Tan-Yuan (1993) et Ding-Tan (1993). Dans une deuxième étape, j'ai utilisé le résultat d'existence d'éléments maximaux obtenu lors de la première étape pour démontrer l'existence de l'équilibre dans des jeux qualitatifs avec un nombre infini d'agents pour des correspondances de préférence définies sur un sous ensemble convexe d’un espace vectoriel topologique séparé et vérifiant une condition de recouvrement. Ce qui a permis d'établir l'existence de l'équilibre dans des jeux généralisés (ou économie abstraite) avec des ensembles de choix non compacts. Les résultats obtenus généralisent les résultats correspondants de Gales-Mas Collel (1975), Yannelis et Prabakar (1983), Toussaint (1984), Tulcea (1988) et Ding-Tan (1993).
Fichier non déposé

Dates et versions

hal-03751037 , version 1 (13-08-2022)

Identifiants

  • HAL Id : hal-03751037 , version 1

Citer

Lynda Farza. Théorèmes de points fixes dans le cas non compact et application à l'Economie Mathématique. [Rapport de recherche] Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis (ENIT). 2000. ⟨hal-03751037⟩

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