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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2021

Locally elliptic actions, torsion groups, and nonpositively curved spaces

Résumé

Extending and unifying a number of well-known conjectures and open questions, we conjecture that locally elliptic actions (that is, every element has a bounded orbit) of finitely generated groups on finite dimensional nonpositively curved spaces have global fixed points. In particular, finitely generated torsion groups cannot act without fixed points on such spaces. We prove these conjectures for a wide class of spaces, including all infinite families of Euclidean buildings, Helly complexes, some graphical small cancellation and systolic complexes, uniformly locally finite Gromov hyperbolic graphs. We present numerous consequences of these result, e.g. concerning the automatic continuity. On the way we prove several results concerning automorphisms of Helly graphs. They are of independent interest and include a classification result: any automorphism of a Helly graph with finite combinatorial dimension is either elliptic or hyperbolic, with rational translation length. One consequence is that groups with distorted elements cannot act properly on such graphs. We also present and study a new notion of geodesic clique paths. Their local-to-global properties are crucial in our proof of ellipticity results.
En étendant et unifiant plusieurs conjectures et questions ouvertes bien connues, nous conjecturons que les actions localement elliptiques (tout élément a une orbite bornée) de groupes de type fini sur des espaces à courbure négative ou nulle ont des points fixes globaux. En particulier, les groupes de torsion de type fini ne peuvent pas agir sur de tels espaces. Nous prouvons ces conjectures pour une large famille d'espaces, incluant toutes les familles infinies d'immeubles euclidiens, les complexes de Helly, certains complexes à petite simplification graphique et systoliques, les graphes hyperboliques uniformément localement finis. Nous présentons de nombreuses conséquences de ce résultat, notamment concernant la continuité automatique. Nous en profitons pour montrer plusieurs résultats concernant les automorphismes de graphes de Helly. Ils ont un intérêt propre, et incluent un résultat de classification : tout automorphisme d'un graphe de Helly de dimension combinatoire finie est elliptique ou hyperbolique, avec une distance de translation rationnelle. Une conséquence est que les groupes avec des éléments distordus ne peuvent agir proprement sur de tels graphes. Nous présentons et étudions également une nouvelle notion de chemin géodésique de cliques. Leurs propriétés de passage du local au global sont cruciales pour nos preuves de points fixes.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-03479429 , version 1 (14-12-2021)

Identifiants

Citer

Thomas Haettel, Damian Osajda. Locally elliptic actions, torsion groups, and nonpositively curved spaces. 2021. ⟨hal-03479429⟩
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