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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2021

On the Mahler measure of the spectrum of rank one maps

La mesure de Mahler du spectre des transformations de rang un.

Résumé

We extend partially the Kakutani-Zygmund dichotomy theorem to a class of generalized Riesz-product type measures by proving that the generalized Riesz-product is singular if and only if its Mahler measure is zero. As a consequence, we exhibit a new subclass of rank one maps acting on a finite measure space with singular spectrum. In our proof the H p theory coming to play. Furthermore, by appealing to a deep result of Bourgain, we prove that the Mahler measure of the spectrum of rank one map with cutting parameter p_n = O(n^β), β ≤ 1 is zero, and we establish that the integral of the absolute part of any generalized Riesz-product is strictly less than 1. This answer a question asked by M. Nadkarni.
On étend partiellement le théorème de dichotomie de Kakutani-Zygmund à une classe de mesures de type produit de Riesz généralisé en prouvant que le produit de Riesz généralisé est singulier si et seulement si sa mesure de Mahler est nulle. En conséquence, nous exhibons une nouvelle sous-classe de transformations de rang qui agissent sur un espace de mesure fini avec un spectre singulier. Dans notre preuve, la théorie H^p joue un rôle fondamental. De plus, en faisant appel à un résultat profond de Bourgain, nous prouvons que la mesure de Mahler du spectre d'une transformation de rang un avec un paramètre de découpage p_n = O(n^β), β ≤ 1 est nulle, et nous établissons que l'intégrale de la partie absolument continu de tout produit de Riesz généralisé est strictement inférieure à 1. Ceci répond à une question posée par M. Nadkarni.
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Mahlerrakone2021.pdf (338.32 Ko) Télécharger le fichier
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-03328249 , version 1 (29-08-2021)

Identifiants

Citer

El Houcein El Abdalaoui. On the Mahler measure of the spectrum of rank one maps. 2021. ⟨hal-03328249⟩
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