Epidemic models in measure spaces: persistence, concentration and oscillations
Résumé
We investigate the long-time dynamics of a SIR epidemic model in the case of a population of pathogens
infecting a single host population. The pathogen population is structured by a phenotypic variable. When the
initial mass of the maximal fitness set is positive, we give a precise description of the convergence of the orbit,
including a formula for the asymptotic distribution. We also investigate precisely the case of a finite number of
regular global maxima and show that the initial distribution may have an influence on the support of the eventual
distribution. In particular, the natural process of competition is not always selecting a unique species, but several
species may coexist as long as they maximize the fitness function. In many cases it is possible to compute the
eventual distribution of the surviving competitors. In some configurations, species that maximize the fitness may
still get extinct depending on the shape of the initial distribution and some other parameter of the model, and
we provide a way to characterize when this unexpected extinction happens. Finally, we provide an example of a
pathological situation in which the distribution never reaches a stationary distribution but oscillates forever around
the set of fitness maxima.
Nous étudions le comportement en temps long d'un modèle épidémique de type SIR dans le cas d'une population homogène d'hôtes. La population de pathogènes est structurée par une variable génotypique. Lorsque l'ensemble maximisant la fonction de fitness est de masse initiale positive, nous décrivons précisément la convergence de l'orbite vers un unique état stationnaire déterminé explicitement. Lorsque cet ensemble est de masse initiale nulle, nous montrons la persistence uniforme de la population d'infectés et la concentration de la population de pathogènes sur l'ensemble des traits génotypiques qui maximisent la fonction de fitness. Nous étudions plus précisément le cas d'une fonction de fitness régulière possédant un nombre fini de maxima et montrons que, dans ce cas, la donnée initiale peut avoir une influence sur le support de la distribution finale des traits. En particulier, nous montrons que la sélection naturelle ne sélectionne pas toujours un seul trait génotypique, mais plusieurs peuvent coexister du moment qu'ils maximisent la fonction de fitness. Enfin, nous proposons un exemple pathologique dans lequel la distribution de pathogènes n'atteint jamais un état d'équilibre mais oscille autour de l'ensemble de fitness maximale.
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