On travaille sous les conditions d'Aïdékon-Chen, qui garantissent que la martingale dérive d'une marche aléatoire branchante réelle converge presque sûrement vers une variables aléatoire positive non-dégénérée, que l'on note $Z$. On montre que $\mathbb{E} Z\mathbf{1}_{\{Z \le x\}} = \log x + o(\log x)$ quand $x \to \infty$. On donne également des conditions nécessaires et suffisantes qui garantissent que $\mathbb{E} Z\mathbf{1}_{\{Z\le x\}}=\log x+{\rm const}+o(1)$ quand $x\to\infty$. Cette asymptotique plus précise est un outil clé pour prouver des résultats de convergence en loi qui quantifient la vitesse de convergence de la martingale dérivée vers sa limite $Z$. La nouveauté méthodologique de ce papier est une décomposition en trois termes des fonctions sous-harmoniques à croissance au plus linéaire, pour une marche aléatoire centrée à variance finie tuée en 0. Ce résultat permet de démontrer les comportements asymptotiques ci-dessus et devrait être applicable à d'autres modèles.