Sur l’accélération de la convergence de la « série de Mādhava-Leibniz » - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Quadrature Année : 2015

On the acceleration of the convergence of the "Mādhava-Leibniz series"

Sur l’accélération de la convergence de la « série de Mādhava-Leibniz »

Résumé

This paper expounds very innovative results achieved between the mid-14th century and the beginning of the 16th century by Indian astronomers belonging to the so-called "Mādhava school". These results were in keeping with researches in trigonometry: they concern the calculation of the eight of the circumference of a circle. They not only expose an analog of the series expansion of arctan(1) usually known as the "Leibniz series", but also other analogs of series expansions, the convergence of which is much faster. These series expansions are derived from evaluations of the rests of the partial sums of the primordial series, by means of some convergents of generalized continued fractions. A justification of these results in modern terms is provided, which aims at restoring their full mathematical interest.
Cet article présente des résultats très novateurs obtenus entre le milieu du XIV e siècle et le début du XVI e siècle par des astronomes indiens de l'école dite « de Mādhava ». Ces résultats, qui s'inscrivent dans le cadre de recherches trigonométriques, concernent la rectification du huitième de circonférence d'un cercle. Ils exposent non seulement un analogue du développement en série de arctan(1), en général connu sous le nom de « série de Leibniz », mais aussi d'autres analogues de développements en série dont la convergence est beaucoup plus rapide. Ces développements sont dérivés d'évaluations des restes des sommes partielles de la série initiale au moyen de réduites de fractions continues généralisées. Une justification en termes modernes en est fournie, qui vise à en restituer tout l'intérêt mathématique.
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Pouvreau D._Sur l'acceleration de la convergence de la serie de Madhava-Leibniz_Quadrature 97_pp 17-25_2015 .pdf (369.6 Ko) Télécharger le fichier
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Dates et versions

hal-03186128 , version 1 (30-03-2021)

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Citer

David Pouvreau. Sur l’accélération de la convergence de la « série de Mādhava-Leibniz ». Quadrature, 2015. ⟨hal-03186128⟩
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