Cet article présente des résultats très novateurs obtenus entre le milieu du XIV e siècle et le début du XVI e siècle par des astronomes indiens de l'école dite « de Mādhava ». Ces résultats, qui s'inscrivent dans le cadre de recherches trigonométriques, concernent la rectification du huitième de circonférence d'un cercle. Ils exposent non seulement un analogue du développement en série de arctan(1), en général connu sous le nom de « série de Leibniz », mais aussi d'autres analogues de développements en série dont la convergence est beaucoup plus rapide. Ces développements sont dérivés d'évaluations des restes des sommes partielles de la série initiale au moyen de réduites de fractions continues généralisées. Une justification en termes modernes en est fournie, qui vise à en restituer tout l'intérêt mathématique.