Well-posedness and propagation of chaos for McKean-Vlasov equations with jumps and locally Lipschitz coefficients
Existence, unicité et propagation du chaos pour des équations de type McKean-Vlasov avec des sauts et des coefficients localement lipschitziens
Résumé
We study McKean-Vlasov equations where the coefficients are locally Lipschitz continuous. We prove the strong well-posedness and a propagation of chaos property in this framework. These questions can be treated with classical arguments under the assumptions that the coefficients are globally Lipschitz continuous. In the locally Lipschitz case, we use truncation arguments and Osgood's lemma instead of Grönwall's lemma. This approach entails technical difficulties in the proofs, in particular for the existence of solution of the McKean-Vlasov equations that are considered. This proof relies on a Picard iteration scheme that is not guaranteed to converge in an $L^1-$sense because the coefficients are not Lipschitz continuous. However, we still manage to prove its convergence in distribution, and the (strong) well-posedness of the equation using a generalization of Yamada and Watanabe results.
Nous étudions des équations de type McKean-Vlasov où les coefficients sont localement lipschitziens. Nous prouvons que ces équations sont bien posées, ainsi que la propagation du chaos dans ce cadre. Ces questions sont classiques sous la condition que les coefficients sont globalement lipschitziens. Dans la cas localement lipschitzien, nous utilisons des arguments de troncature et le lemme d'Osgood au lieu du lemme de Grönwall. Certaines difficultés techniques apparaissent dans les preuves, en particulier pour prouver l'existence de solution de l'équation de type McKean-Vlasov que nous considérons. Cette preuve repose sur un schéma d'itération de Picard qui, a priori, ne converge pas dans un sens $L^1$ car les coefficients ne sont pas lipschitziens. Nous prouvons quand même qu'il converge en loi, et arrivons à en déduire que l'équation est bien posée (au sens fort) en utilisant une généralisation des résultats de Yamada et Watanabe.
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