Nous introduisons une famille de marches al\'eatoires en dimension deux, r\'efl\'echies au bord du quart de plan positif, et \'etudions leur fronti\`ere de Martin. Tandis que leur fronti\`ere minimale est syst\'ematiquement une union de deux points, nous montrons que la fronti\`ere de Martin compl\`ete est intrins\`equement instable, au sens suivant : lorsqu'un certain param\`etre associ\'e au mod\`ele s'av\`ere rationnel (respectivement non rationnel), la fronti\`ere de Martin est alors d\'enombrable et hom\'eomorphe \`a $\mathbb Z\cup\{\pm\infty\}$ (respectivement non d\'enombrable et hom\'eomorphe \`a $\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$). De tels ph\'enom\`enes d'instabilit\'e sont rares dans la litt\'erature. Les d\'emonstrations contiennent plusieurs estim\'ees pr\'ecises pour des fonctions de Green de marches al\'eatoires r\'efl\'echies avec probabilit\'e de fuite le long des axes, poss\'edant en outre un nombre infini de domaines d'inhomog\'en\'eit\'e. Nos m\'ethodes m\'elangent des techniques probabilistes avec une approche analytique pour des marches al\'eatoires avec grands pas en dimension deux.