Derivative martingale of the branching Brownian motion in dimension $d \geq 1$
Martingale dérivée du mouvement brownien branchant en dimension $d \geq 1$
Résumé
We consider a branching Brownian motion in $\mathbb{R}^d$. We prove that there exists a random subset $\Theta$ of $\mathbb{S}^{d-1}$ such that the limit of the derivative martingale exists simultaneously for all directions $\theta \in \Theta$ almost surely. This allows us to define a random measure on $\mathbb{S}^{d-1}$ whose density is given by the derivative martingale. The proof is based on first moment arguments: we approximate the martingale of interest by a series of processes, which do not take into account the particles that travelled too far away. We show that these new processes are uniformly integrable martingales whose limits can be made to converge to the limit of the original martingale.
On considère un mouvement brownien branchant dans $\mathbb{R}^d$. On montre qu'il existe un sous-ensemble aléatoire $\Theta \subset \mathbb{S}^{d-1}$ de directions, de mesure pleine, telle que la limite de la martingale dérivée existe simultanément pour toute direction $\theta \in \Theta$ presque sûrement. Cela permet de définir une mesure aléatoire sur $\mathbb{S}^{d-1}$ dont la densité est donnée par la martingale dérivée. La preuve est basée sur des arguments de premier moment : on approche la martingale d'intérêt par une suite de processus qui ne prennent pas en compte les particules ayant eu une vitesse trop important. Nous montrons que ces processus sont des martingales uniformément intégrables, dont la suite des limites converge vers la limite de la martingale d'origine.
Domaines
Probabilités [math.PR]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|