Multibody and macroscopic impact laws: a Convex Analysis Standpoint
Analyse convexe et lois de collision pour les systèmes de grains rigides et leurs représentations macroscopiques
Résumé
These lecture notes address mathematical issues related to the modeling of impact laws for systems of rigid spheres and their macroscopic counterpart. We analyze the so-called Moreau's approach to define multibody impact laws at the mircroscopic level, and we analyze the formal macroscopic extensions of these laws, where the non-overlapping constraint is replaced by a barrier-type constraint on the local density. We detail the formal analogies between the two settings, and also their deep discrepancies, detailing how the macroscopic impact laws, natural ingredient in the so-called Pressureless Euler Equations with a Maximal Density Constraint, are in some way irrelevant to describe the global motion of a collection of inertial hard spheres. We propose some preliminary steps in the direction of designing macroscopic impact models more respectful of the underlying microscopic structure, in particular we establish micro-macro convergence results under strong assumptions on the microscopic structure.
Ces notes de cours abordent des questions mathématiques issues de la modélisation d'impacts entre sphères rigides, dans les cadres microscopique et macroscopique. Nous analysons l'approche dite de Moreau qui permet d'écrire des lois d'impact pour une collection de sphères rigides, et son extension formelle à l'échelle microscopique, où la contrainte de non chevauchement est remplacée par une contrainte sur le maximum de la densité. Nous détaillons les analogies entre les deux niveaux de description, mais aussi les différences profondes entre elles, en particulier le fait que les lois de collision macroscopiques naturelles sont d'une certaine manière inadaptées à la description de systèmes de sphères rigides. Nous proposons des premiers pas vers l'écriture de lois macroscopiques plus respectueuses de la structure microscopique sous-jacente, en particulier des résultats préliminaires de convergence des lois de collision sous des hypothèses fortes sur la structure microscopique.
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