Dans ce document, on s'intéresse à l'entropie. Il a été préparé à l'occasion d'un colloquium donné le 12 avril 2019 à l'Université Paris Descartes que je remercie pour l'invitation. Le but est de décrire l'entropie dans le prolongement de sa définition proposée par le physicien Clausius. En effet, Clausius expose le second principe de la thermodynamique et définit aussi le concept d'entropie. Au lieu de définir simplement une fonctionnelle, fondamentale pour montrer son second principe, il va en fait définir un concept suffisamment général pour qu'il soit utilisé dans de très nombreux domaines des mathématiques. Nous illustrons ici les liens entre ce concept et les flots de gradient en dimension finie et infinie, avec comme exemples, l'équation de la chaleur ou l'équation des milieux poreux qui mènent à l'inégalité optimale de Sobolev.