Nous nous intéressons dans ce document à l'entropie. L'entropie est multiple, l'idée est de la décrire dans le prolongement de sa définition proposée par le physicien Clausius. En effet, Clausius expose en 1865 le second principe de la thermodynamique et propose aussi le concept d'entropie. Au lieu de définir simplement une fonctionnelle, point central pour l'élaboration du second principe, il va en fait définir un concept suffisamment général pour qu'il soit utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques. Dans ces quelques pages, je souhaite faire apparaître le rôle joué par l'entropie dans le domaine de l'étude des flots de gradient et des inégalités fonctionnelles. Partant de la définition de Clausius en 1865, je vais tenter d'expliquer comment des inégalités fonctionnelles fondamentales comme l'inégalité de Sobolev, point clé en analyse, sont des inégalités de structures naturelles reliées à une certaine entropie. Ce cheminement me permet de donner un aperçu de l'utilisation des flots de gradient en dimension finie ou infinie, de la théorie de Bakry-Emery et plus récemment du calcul d'Otto.