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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2022

PROPAGATION OF SMALLNESS AND CONTROL FOR HEAT EQUATIONS

Propagation de la petitesse et contrôle pour l'équation des ondes

Nicolas Burq
Iván Moyano

Résumé

In this note we investigate propagation of smallness properties for solutions to heat equations. We consider spectral projector estimates for the Laplace operator with Dirichlet or Neumann boundary conditions on a Riemanian manifold with or without boundary. We show that using the new approach for the propagation of smallness from Logunov-Malinnikova [7, 6, 8] allows to extend the spectral projector type estimates from Jerison-Lebeau [3] from localisation on open set to localisation on arbitrary sets of non zero Lebesgue measure; we can actually go beyond and consider sets of non vanishing d − δ (δ > 0 small enough) Hausdorf measure. We show that these new spectral projector estimates allow to extend the Logunov-Malinnikova's propagation of smallness results to solutions to heat equations. Finally we apply these results to the null controlability of heat equations with controls localised on sets of positive Lebesgue measure. A main novelty here with respect to previous results is that we can drop the constant coefficient assumptions (see [1, 2]) of the Laplace operator (or analyticity assumption, see [4]) and deal with Lipschitz coefficients. Another important novelty is that we get the first (non one dimensional) exact controlability results with controls supported on zero measure sets.
Dans cette note, on étudie la propagation de la petitesse pour les solutions de l'équation de la chaleur. On considère les estimées de projecteurs spectraux pour le Laplacien avec conditions aux limites de Dirichlet ou Neumann sur une variété riemanienne avec ou sans bord. On montre que l'utilisation de l'approche pour la propagation de la petitesse des fonctions harmoniques de Logunov-Malinnikova [7, 6, 8] permet d'étendre les estimées de projecteurs spectraux de Jerison-Lebeau à des localisation sur des ensembles arbitraires de mesures de Lebesgue non nulle. On peut en fait aller plus loin et considérer des ensembles de dimension de Hausdorf pas trop petite. On montre ensuite que ces estimées de projecteurs spectraux permettent d'étendre les résultats de Logunov-Malinninkova de propagation de la petitesse aux solutions de l'équation de la chaleur. Finalement on applique ces résultats à l'étude de la contrôlabilité à $0$ de l'équation de la chaleur avec des contrôles localisés sur des ensembles de mesurte de Lebesgue non nulle. Notre contribution ici est d'éviter les hypothèses de coefficients constants (voir [1, 2]) pour le Laplacien (ou les hypothèses d'analyticité et de traiter le cas de coefficients Lipschitz. Finalement une nouveauté importante est que nous obtenons les premiers résultats de contrôlabilité exacte (en dimension $d\geq 2$), pour des commandes localisées sur des ensembles de mesure nulle.
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Dates et versions

hal-02409737 , version 1 (13-12-2019)
hal-02409737 , version 2 (01-03-2022)

Identifiants

Citer

Nicolas Burq, Iván Moyano. PROPAGATION OF SMALLNESS AND CONTROL FOR HEAT EQUATIONS. 2022. ⟨hal-02409737v2⟩
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