A priori bounds and multiplicity of solutions for an indefinite elliptic problem with critical growth in the gradient
Résumé
Let Ω ⊂ RN , N ≥ 2, be a smooth bounded domain. We consider a boundary value problem of the form
−∆u = cλ(x)u + µ(x)|∇u|^2 + h(x) , u ∈ H1^0(Ω) ∩ L∞(Ω)
where cλ depends on a parameter λ ∈ R, the coefficients cλ and h belong to L^q(Ω) with q > N/2 and µ ∈ L∞(Ω). Under suitable assumptions, but without imposing a sign condition on any of these coefficients, we obtain an a priori upper bound on the solutions. Our proof relies on a new boundary weak Harnack inequality. This inequality, which is of independent interest, is established in the general framework of the p-Laplacian. With this a priori bound at hand, we show the existence and multiplicity of solutions
Soit Ω ⊂ RN , N ≥ 2, un domaine borné régulier. Nous consid´erons un problème aux limites de la forme
−∆u = cλ(x)u + µ(x)|∇u|^2 + h(x) , u ∈ H1^0(Ω) ∩ L∞(Ω)
où cλ dépend d’un paramètre λ ∈ R, les coefficients cλ et h sont des fonctions dans L^q(Ω) avec q > N/2 et µ ∈ L∞(Ω). Sous certaines hypothèses, mais sans imposer une condition de signe sur aucun des coefficients, nous obtenons une borne à priori supérieure sur les solutions. Notre preuve repose sur une nouvelle inégalité de Harnack au bord. Cette inégalité, qui est d’intérêt propre, est établie dans le cadre plus général du
p-Laplacien. L’obtention d’une borne `a priori nous permet de démontrer l’existence et la multiplicité de solutions.
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