Hopf dreams
Résumé
We introduce a Hopf algebra structure on a family of reduced pipe dreams with a natural surjection onto a commutative Hopf algebra of permutations. We then study three Hopf subalgebras of permutations whose preimages by the surjection yield three relevant Hopf subalgebras of pipe dreams. The first is the Loday-Ronco Hopf algebra on binary trees, the second is related to a special family of lattice walks on the quarter plane, and the third is a Hopf algebra on ν-trees related to ν-Tamari lattices. The latter motivates a new notion of Hopf chains in the Tamari lattice with applications in the theory of multivariate diagonal harmonics.
Nous introduisons une structure d’algèbre de Hopf sur une famille d’arrangements de tuyaux, avec une surjection naturelle sur une algèbre de Hopf commutative de permutations. Nous étudions ensuite trois sous-algèbres de Hopf de permutations dont les préimages par la surjection donnent trois sous-algèbres de Hopf d’arrangements de tuyaux intéressantes. La première est l’algèbre de Hopf de Loday-Ronco sur les arbres binaires, la seconde est reliée à une famille spéciale de chemins dans le quart de plan, et la troisième est une algèbre de Hopf sur des ν-arbres reliée aux treillis de ν-Tamari. Cette dernière motive une nouvelle notion de chaînes de Hopf dans le treillis de Tamari, avec des applications à la théorie des harmoniques diagonaux multivariés.
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