Homogenization of an elastodynamics system with a strong magnetic field and soft inclusions inducing a viscoelastic effective behavior
Homogénéisation d'un système en élastodynamique sous un champ magnétique fort et avec des inclusions faiblement rigides induisant un comportement limite viscoélastique
Résumé
In this paper we study the homogenization of a linear elastodynamics system in an elastic body with soft inclusions, which is embedded in a highly oscillating magnetic field. We show two limit behaviors according to the magnetic field. On the one hand, if the magnetic field has two different directions on the interface between the hard phase and the soft phase, then the limit of the displacement in the hard phase is independent of time, so that the magnetic field induces an effective infinite mass. On the other hand, if the magnetic field has a constant direction ξ on the interface, then the limit of the displacement in the hard phase and in the direction ξ is solution to an elastodynamics equation with a memory mass, a memory stress tensor and memory external forces depending on the initial conditions, which read as time convolutions with some kernel. When the magnetic has the same direction ξ in the soft phase with smooth inclusions, we prove that the space-average of the kernel is regular and that the limit of the overall displacement in the direction ξ is solution to a viscoelasticity equation.
Dans cet article on étudie l'homogénéisation d'un système en élastodynamique linéaire dans un corps élastique comportant des inclusions faiblement rigides, plongé dans un champ magnétique fortement oscillant. On distingue deux comportements limites distincts suivant le champ magnétique. D'une part, si le champ magnétique possède deux directions différentes à l'interface entre la phase rigide et les inclusions, alors le déplacement dans la phase rigide est indépendant du temps, de sorte que le champ magnétique induit une masse limite infinie. D'autre part, si le champ magnétique a une direction constante ξ à l'interface, alors le déplacement limite dans la phase rigide et dans la direction ξ est solution d'une équation d'élastodynamique comportant un terme de masse à mémoire, un tenseur de contraintes à mémoire et des forces externes à mémoire dépendant des conditions initiales, qui s'expriment comme des convolutions en temps avec un certain noyau. Lorsque le champ magnétique a la même direction constante ξ dans la phase non rigide avec des inclusions régulières, on montre que la moyenne spatiale du noyau de convolution est régulier et que la limite du déplacement global dans la direction ξ est solution d'une équation de viscoélasticité.
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