Les équations d’Helhmoltz-Kirchhoff pour le mouvement tourbillonaire d’un fluide incompressible dans le plan définissent une dynamique hamiltonienne à singularités localisées aux tourbillons. Cela conduit à définir un problème de Zermelo décrivant le mouvement d’un navire où le contrôle est l’angle de cap et le critère à minimiser est le temps de transfert entre deux points du plan. Dans cet article, on se limite au cas d’un seul tourbillon localisé en zéro et le problème est analysé avec les techniques du contrôle optimal géométrique combinées à des simulations numériques, le contexte géométrique étant l’extension des métriques de Randers dans le plan possédant une symétrie de révolution. On doit en effet considérer le cas d’un courant faible, mais aussi d’un courant fort localisé au voisinage du tourbillon. Les trajectoires candidates à minimiser le temps sont paramétrées en utilisant le Principe du Maximum de Pontryaguine comme des extrémales solutions d’un système hamiltonien dont les projections sur l’espace d’état sont les géodésiques. L’analyse du problème optimal repose sur la classification micro-locale des solutions extrémales utilisant l’intégrabilité de la dynamique. La discussion est complexe et repose sur l’existence d’un cercle géodésique dit de Reeb, conséquence de la singularité tourbillonaire. La discussion est complétée par l’évaluation des points de coupure, les points où les extrémales cessent d'être optimales. Les sphères sont décrites dans le cas d’un état initial à courant faible.