Le th\'eor\`eme de r\'eduction stable de Deligne et Mumford
Résumé
The stable reduction theorem of Deligne and Mumford --- The moduli space of smooth projective curves of genus $g$ is a quasi-projective algebraic variety, but is not projective. To understand its geometry, it may be crucial to consider compactifications of this space. By allowing to parameterize as well curves with controlled singularities (the so called stable curves), Deligne and Mumford constructed a projective compactification. The properness of this compactification translates into the stable reduction theorem that they prove, its projectivity is a later theorem of Knudsen and Mumford. This text is based on the oral presentation and aims at introducing these objects.
L'espace de modules des courbes projectives lisses de genre $g$
est une variété algébrique quasi-projective, mais non projective.
Pour comprendre sa géométrie, il est parfois crucial d'en considérer
des compactifications. En acceptant de paramétrer également des courbes
(dites stables) aux singularités
contrôlées, Deligne et Mumford en ont construit une compactification projective.
Le caractère propre de cette compactification se traduit par le théorème de rédu
ction stable qu'ils démontrent également.
(Sa projectivité est un théorème ultérieur de Knudsen et Mumford.)
Cet texte, qui reprend l'exposé oral, est une introduction à ces objets.