Mean field limits for interacting Hawkes processes in a diffusive regime
Limites en champ moyen de processus de Hawkes en interaction, en régime diffusif
Résumé
We consider a sequence of systems of Hawkes processes having mean field interactions in a diffusive regime. The stochastic intensity of each process is a solution of a stochastic differential equation driven by N independent Poisson random measures. We show that, as the number of interacting components N tends to infinity, this intensity converges in distribution in Skorohod space to a CIR-type diffusion. Moreover, we prove the convergence in distribution of the Hawkes processes to the limit point process having the limit diffusion as intensity. To prove the convergence results, we use analytical technics based on the convergence of the associated infinitesimal generators and Markovian semigroups.
Nous considérons des systèmes de processus de Hawkes, avec des interactions de type champ moyen, dans un régime diffusif. L'intensité stochastique de chaque processus est solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par N mesures aléatoires de Poisson indépendantes. Nous montrons que, quand le nombre N de composants qui interagissent tend vers l'infini, cette intensité converge en loi dans l'espace de Skorokhod vers une diffusion de type CIR. De plus, nous démontrons la convergence en loi du système des processus de Hawkes vers un processus ponctuel ayant comme intensité stochastique la diffusion limite. Pour prouver cette convergence, nous utilisons des techniques analytiques basées sur la convergence des générateurs infinitésimaux et des semi-groupes associés à des processus de Markov.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
|---|