Low Rank Decomposition, completion problems and Applications
Décomposition de petit rang, problèmes de complétion et Applications
Résumé
We study the decomposition of a multivariate Hankel matrix Hσ as a sum of Hankel matrices of small rank in correlation with the decomposition of its symbol σ as a sum of polynomial-exponential series. We present a new algorithm to compute the low rank decomposition of the Hankel operator and the decomposition of its symbol exploiting the properties of the associated Artinian Gorenstein quotient algebra Aσ. A basis of Aσ is computed from the Singular Value Decomposition of a sub-matrix of the Hankel matrix Hσ. The frequencies and the weights are deduced from the generalized eigenvectors of pencils of shifted sub-matrices of Hσ. Explicit formula for the weights in terms of the eigenvectors avoid us to solve a Vandermonde system. This new method is a multivariate generalization of the socalled Pencil method for solving Prony-type decomposition problems. We analyse its numerical behaviour in the presence of noisy input moments, and describe a rescalingtechnique which improves the numerical quality of the reconstruction for
frequencies of high amplitudes. We also present a new Newton iteration, which converges locally to the closest multivariate Hankel matrix of low rank and show its impact for correcting errors on input moments. We study the decomposition of a multi-symmetric tensor T as a sum of powers of product of linear forms in correlation with the decomposition of its dual T ⋆ as a weighted sum of evaluations. We use the properties of the associated Artinian Gorenstein Algebra Aτ to compute the decomposition of its dual T ⋆ which is defined via a formal power series τ. We use the low rank decomposition of the Hankel operator Hτ associated to the symbol τ into a sum of indecomposable operators of low rank. A basis of Aτ is chosen such that the multiplication by some variables is possible. We compute the sub-coordinates of the evaluation points and their weights using the eigen-structure of multiplication matrices. The new algorithm that we propose works for small rank. We give a theoretical generalized approach of the method in n dimensional space. We show a numerical example of the decomposition of a multi-linear tensor of rank 3 in 3 dimensional space. We show a numerical example of the decomposition of a multi-symmetric tensor of rank 3 in 3 dimensional space. We study the completion problem of the low rank Hankel matrix as a 4minimization problem. We use the relaxation of it as a minimization problem of the nuclear norm of Hankel matrix. We adapt the SVT algorithm to the case of Hankel matrix and we compute the linear operator which describes the constraints of the problem and its adjoint. We try to show the utility of the decomposition algorithm in some applications such that the LDA model and the ODF model.
On étudie la décomposition de matrice de Hankel Hσ comme une somme des matrices de Hankel de rang faible en corrélation avec la décomposition de son symbole σ comme une somme des séries exponentielles polynomiales. On
présente un nouvel algorithme qui calcule la décomposition d’un opérateur de Hankel de petit rang et sa décomposition de son symbole en exploitant les propriétés de l’algèbre quotient de Gorenstein Aσ. La base de Aσ est calculée à partir la décomposition en valeurs singuliers d’une sous-matrice de matrice de Hankel Hσ. Les fréquences et les poids se déduisent des vecteurs propres généralisés des sous matrices de Hankel déplacés de Hσ. On présente une formule pour calculer les poids en fonction des vecteurs propres généralisés au lieu de résoudre un système de Vandermonde. Cette nouvelle méthode est une généralisation de Pencil méthode déjà utilisée pour résoudre un problème de décomposition de type de Prony. On analyse son comportement numérique en présence des moments contaminés et on d´ecrit une technique de redimensionnement qui améliore la qualité numérique des fréquences d’une grande amplitude. On présente une nouvelle technique de Newton qui converge localement vers la matrice de Hankel de rang faible la plus proche au matrice initiale et on montre son effet à corriger les erreurs sur les moments. On étudie la décomposition d’un tenseur multi-symétrique T comme une somme des puissances de produit des formes linéaires en corrélation avec la décomposition de son dual T ⋆ comme une somme pondérée des évaluations. On utilise les propriétés de l’algèbre de Gorenstein associée Aτ pour calculer la décomposition de son dual T ⋆ qui est définie à partir d’une série formelle τ. On utilise la décomposition d’un opérateur de Hankel de rang faible Hτ associé au symbole τ comme une somme des opérateurs indécomposables de rang faible. La base d’Aτ est choisie de façon que la multiplication par certains variables soit possible. On calcule les coordonnées des points et leurs poids correspondants à partir la structure propre des matrices de multiplication. Ce nouvel algorithme qu’on propose marche bien pour les matrices de Hankel de rang faible. On propose une approche théorique de la méthode dans un espace de dimension n. On donne un exemple numérique de la décomposition d’un tenseur multilinéaire de rang 3 en dimension 3 et un
autre exemple de la décomposition d’un tenseur multi-symétrique de rang 3 2en dimension 3. On étudie le problème de complétion de matrice de Hankel comme un problème de minimisation. On utilise la relaxation du problème basé sur la minimisation de la norme nucléaire de la matrice de Hankel. On adapte le SVT algorithme pour le cas d’une matrice de Hankel et on calcule l’opérateur linéaire qui d´écrit les contraintes du problème de minimisation de norme nucléaire. On montre l’utilité du problème de décomposition à dissocier un modèle statistique ou biologique.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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