Un adjoint - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2019

Un adjoint

Résumé

Given a scheme S and a flat morphism T \to S of finite presentation we define a surjective S-morphism to an étale and separated S-scheme, which is universal in an obvious sense. Properties of this morphism are deduced from a thorough uses of quotients by equivalence relations whose graph is open and closed.
Soit S un schéma, disons irréductible. On montre l'existence d'un fonc-teur qui associe à tout morphisme plat et de présentation finie T → S, un S-schéma π s (T /S) étale quasi-compact et séparé (en bref, un objet de Et.sep S), et un S-morphisme hT : T → π s (T /S) qui sont « universels » pour les S-morphismes de T vers un objet de Et.sep S. L'étude du fonc-teur T → π s (T /S) utilise les relations d'équivalence dans T , à graphe ouvert et fermé dans T ×S T. On montre, en particulier, que lorsque S est normal intègre et que T est lisse sur S, alors la formation de π s (T /S) commute à la restriction aux ouverts de S. Enfin, Laumon et Moret-Bailly, dans le cadre élargi des S-espaces algébriques lisses, ont introduit l'adjoint à gauche π0(T /S), à valeur dans les espaces algébriques étales. On montre que, lorsque S est normal, le morphisme d'espaces algébriques π0(T /S) → π s (T /S) fait de π s l'enveloppe séparée de π0. Abstract Let S be a scheme, say irreducible. We prove the existence of a functor which associates with any flat morphism of finite presentation T → S, a S-scheme π s (T /S) étale quasi-compact and separated (in short, an object of Et.sep S) and a S-morphism hT : T → π s (T /S) which are « universal » for the S-morphisms from T to an object of Et.sep S. The study of the functor T → π s (T /S) involves equivalence relations in T whose the graph is open and closed in T ×S T. We show, in particular, that when S is normal and T is smooth over S, then the formation of π s (T /S) commutes with the restriction to open sets in S. Finally, Laumon and Moret-Bailly, in the extended context of S-smooth algebraic spaces, introduced the left adjoint π0(T /S), with value étale algebraic spaces. When S is normal, we show that the morphism of algebraic spaces π0(T /S) → π s (T /S) makes π s the separated envelope of π0.
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Dates et versions

hal-01990140 , version 1 (29-01-2019)
hal-01990140 , version 2 (12-06-2019)

Identifiants

Citer

Daniel Ferrand. Un adjoint. 2019. ⟨hal-01990140v2⟩
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