Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à divisibilité forte
Résumé
We reprove twice, in a simpler but as elementary way, a result by Horák and Skula (1985) who determined, among all sequences of integers defined by $$u_1=1,\quad u_2=R,\quad u_{n+2}=Pu_{n+1}-Qu_n$$ for some integers $P,Q,R$, those which satisfy the strong divisibility condition $$\forall i,j\in\mathbb N^*\quad u_i\land u_j=\left|u_{i\land j}\right|,$$ where $\land$ denotes the greatest common divisor.
On redémontre, de deux façons plus simples et tout aussi élémentaires, un résultat de Horák et Skula (1985), qui consistait à déterminer, parmi les suites d’entiers définies par $$u_1=1,\quad u_2=R,\quad u_{n+2}=Pu_{n+1}-Qu_n$$ avec $P,Q,R$ entiers, celles qui satisfont la condition de divisibilité forte : $$\forall i,j\in\mathbb N^*\quad u_i\land u_j=\left|u_{i\land j}\right|,$$ où $\land$ désigne le plus grand commun diviseur.