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Noise reinforcement for Lévy processes

Jean Bertoin
  • Function : Author
  • PersonId : 917100

Abstract

In a step reinforced random walk, at each integer time and with a fixed probability p ∈ (0, 1), the walker repeats one of his previous steps chosen uniformly at random, and with complementary probability 1 − p, the walker makes an independent new step with a given distribution. Examples in the literature include the so-called elephant random walk and the shark random swim. We consider here a continuous time analog, when the random walk is replaced by a Lévy process. For sub-critical (or admissible) memory parameters p < p c , where p c is related to the Blumenthal-Getoor index of the Lévy process, we construct a noise reinforced Lévy process. Our main result shows that the step-reinforced random walks corresponding to discrete time skeletons of the Lévy process, converge weakly to the noise reinforced Lévy process as the time-mesh goes to 0.
Dans une marche aléatoire à pas renforcés, à chaque instant entier et avec une probabilité fixée p ∈ (0, 1), le marcheur répète un de ses précédents pas tiré uniformément au hasard, et avec probabilité 1 − p effectue un nouveau pas indépendant de loi donnée. Comme exemples dans la littérature figurent l'elephant random walk et le shark random swim. Nous nous intéressons ici à un analogue en temps continu, c'est-à-dire lorsque la marche aléatoire est remplacée par un processus de Lévy. Pour des para-mètres de mémoire sous-critiques (ou encore admissibles) p < p c , où p c est lié à l'indice de Blumenthal-Getoor du processus de Lévy, nous construisons un processus de Lévy à bruit renforcé. Notre résultat principal établit la convergence en loi des marches aléatoires à pas renforcés associées aux squelettes discrets d'un processus de Lévy, vers le processus de Lévy à bruit renforcé, lorsque que le pas de la subdivision du temps tend vers 0.
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Dates and versions

hal-01898145 , version 1 (18-10-2018)

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Cite

Jean Bertoin. Noise reinforcement for Lévy processes. 2018. ⟨hal-01898145⟩

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