Une méthode numérique robuste et rapide pour la résolution des équations de Serre-Green-Naghdi décrivant les ondes de surfaces de grandes longueurs d'ondes
Résumé
A new numerical method for solving the Serre-Green-Naghdi (SGN) equations describing dispersive
waves on shallow water is proposed. From the mathematical point of view, the SGN equations are the
Euler-Lagrange equations for a ‘master’ lagrangian submitted to a differential constraint which is the
mass conservation law. One major numerical challenge in solving the SGN equations is the resolution
of an elliptic problem at each time instant. It is the most time-consuming part of the numerical method.
The idea is to replace the ‘master’ lagrangian by a one-parameter family of ‘extended’ lagrangians, for
which the corresponding Euler - Lagrange equations are hyperbolic. In such an approach, the ‘master’
lagrangian is recovered by the ‘extended’ lagrangian in some limit (for example, when the corresponding
parameter is large). The corresponding hyperbolic system is numerically solved by a Godunov type
method. Numerical solutions are compared with exact solutions of the SGN equations. It appears that
the computational time in solving the hyperbolic system is much lower than in the case where the elliptic
operator is inverted. The new method is, in particular, applied to study the ‘Favre waves’ which are non-
stationary undular bores produced after reflection of the fluid flow with a free surface at an immobile
wall
Une nouvelle méthode numérique pour la résolution des équations de Serre-Green-Naghdi (SGN) dé-
crivant les ondes dispersives pour les écoulements en eau peu profonde est proposée. D’un point de vue
mathématique, les équations SGN sont les équations d’Euler-Lagrange pour un Lagrangien soumis à
une contrainte différentielle : la conservation de la masse. Une des difficultés principales pour la réso-
lution de ces équations est la nécessité de résoudre un problème elliptique à chaque pas de temps. Cette
étape est la plus coûteuse lors de la résolution numérique de ce système. L’idée est ici de remplacer ce
Lagrangien par une famille à un paramètre de Lagrangien étendu pour lequel les équations d’Euler-
Lagrange correspondantes sont hyperboliques. Avec cette approche, le Lagrangien initial est retrouvé
à la limite (par exemple quand le paramètre est grand.). Le modèle hyperbolique est résolu numérique-
ment par une méthode de type Godunov. Les solutions numériques sont comparées avec des solutions
exactes des équations de SGN. Cette méthode est appliqué pour l’étude des ondes de ’Favre’ pour les
ressauts ondulaires produits lors de la réflexion d’un écoulement à surface libre sur un obstacle immo-
bile. Cette nouvelle méthode permet de réduire nettement les temps de calcul par rapport aux méthodes
nécessitant l’inversion d’un opérateur elliptique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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