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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2018

The k-PDTM : a coreset for robust geometric inference

La k-PDTM : un coreset pour l'inférence géométrique

Résumé

Analyzing the sub-level sets of the distance to a compact sub-manifold of R d is a common method in TDA to understand its topology. The distance to measure (DTM) was introduced by Chazal, Cohen-Steiner and Mérigot in [7] to face the non-robustness of the distance to a compact set to noise and outliers. This function makes possible the inference of the topology of a compact subset of R d from a noisy cloud of n points lying nearby in the Wasserstein sense. In practice, these sub-level sets may be computed using approximations of the DTM such as the q-witnessed distance [10] or other power distance [6]. These approaches lead eventually to compute the homology of unions of n growing balls, that might become intractable whenever n is large. To simultaneously face the two problems of large number of points and noise, we introduce the k-power distance to measure (k-PDTM). This new approximation of the distance to measure may be thought of as a k-coreset based approximation of the DTM. Its sublevel sets consist in union of k-balls, k << n, and this distance is also proved robust to noise. We assess the quality of this approximation for k possibly dramatically smaller than n, for instance k = n 1 3 is proved to be optimal for 2-dimensional shapes. We also provide an algorithm to compute this k-PDTM.
L'analyse des sous niveaux de la fonction distance à une variété compacte de R d est très fréquente en analyse topologique des données, avec pour objectif d'en comprendre la topologie. La distance à la mesure (DTM) a été introduite par Chazal, Cohen-Steiner et Mérigot avec l'objectif de remédier au caractère non robuste au bruit et aux données aberrantes de la distance à un compact. Cette fonction rend possible l'inférence de la topologie d'un sous-ensemble compact de R d à partir d'un nuage de n points tirés dans un voisinage proche de la sous-variété au sens de Wasserstein. En pratique, les sous-ensembles de niveau de cette fonction peuvent être estimés en utilisant des approximations de la DTM tels que la q-witnessed distance ou d'autres fonctions puissance. Ces approches reviennent à calculer l'homologie de l'union de n boules, ce qui devient impossible en pratique lorsque n devient trop grand. Afin de traiter le problème du grand nombre de points et du bruit, on introduit la fonction k-puissance distance à la mesure (k-PDTM). Cette nouvelle approximation de la distance à la mesure peut être vue une approximation de la DTM s'appuyant sur un $k$-coreset. Ses sous-niveaux seront alors des unions de k boules pour k<
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Dates et versions

hal-01694542 , version 1 (27-01-2018)

Identifiants

Citer

Claire Brécheteau, Clément Levrard. The k-PDTM : a coreset for robust geometric inference. 2018. ⟨hal-01694542⟩
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