Zur stabilen Homologie der Kongruenzgruppen
On stable homology of congruence groups
De l'homologie stable des groupes de congruence
Résumé
In dieser Arbeit wird gezeigt, daß die Homologie mit Grad d einer Kongruenzgruppe in einem sehr allgemeinen Rahmen einen schwach polynomiellen Funktor mit Grad h£ochstens 2d definiert, und dieser Funktor wird bis auf polynomielle Funktoren mit kleinerem Grad beschrieben. Unser Hauptwerkzeug ist eine Spektralsequenz, die die Homologie von "Kongruenzweisegruppen" (in einem Rahmen, der nah von dem von unserer Arbeit mit Vespa für orthogonale Gruppen in 2010 ist) mit Funktorhomologie verbindet. Eigenschaften gewisser Tensorstrukturen und abgeleiteten Kanerweiterungen über polynomielle Funktoren werden bewiesen und deutlich benützt.
Unsere Ergebnisse verallgemeinern besonders, mit verschiedenen Methoden, Suslins Arbeit über die Ausscheidung in der integralen algebraischen K-Theorie und eine neue Vorveröffentlichung von Church-Miller-Nagpal-Reinhold.
We show in this work that homology in degree d of a congruence group, in a very general framework, defines a weakly polynomial functor of degree at most 2d and we describe this functor modulo polynomial functors of smaller degree. Our main tool is a spectral sequence connecting homology of congruence-like groups (in a formal setting close to the one introduced with Vespa in 2010 for orthogonal groups) and functor homology. We prove and use in a crucial way properties of some tensor structures and derived Kan extensions on polynomial functors.
Our results extend especially, with different methods, the work by Suslin on excision in integer algebraic K-theory and a recent preprint by Church-Miller-Nagpal-Reinhold.
On montre dans ce travail que l'homologie en degré d d'un groupe de congruence, dans un contexte très général, définit un foncteur faiblement polynomial de degré au plus 2d et l'on décrit ce foncteur modulo les foncteurs polynomiaux de degré strictement inférieur. Notre outil principal est une suite spectrale reliant homologie de groupes de type congruence (dans un cadre formel voisin de celui développé avec Vespa en 2010 pour les groupes orthogonaux) et homologie des foncteurs. Nous montrons et utilisons de façon cruciale des propriétés de certaines structures tensorielles et de certaines extensions de Kan dérivées sur des foncteurs polynomiaux.
Nos résultats généralisent notamment, par des méthodes différentes, les travaux de Suslin sur l'excision en K-théorie algébrique entière et une prépublication récente de Church-Miller-Nagpal-Reinhold.
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