Ce n'est pas d'aujourd'hui que le statut des outils, pour l'enseignement des mathématiques, est objet de dispute. On trouve par exemple, en 1887, à l'article « Boulier » du Dictionnaire Pédagogique de Ferdinand Buisson, la déclaration suivante : Le boulier corrompt l'enseignement de l'arithmétique. La principale utilité de cet enseignement est d'exercer de bonne heure, chez l'enfant, les capacités d'abstraction, de lui apprendre à voir de tête, par les yeux de l'esprit. Lui mettre les choses sous les yeux de la chair, c'est d'aller directement contre l'esprit de cet enseignement. La nature a donné aux enfants leurs dix doigts pour boulier ; au lieu de leur en donner un second, il faut leur apprendre à se passer du premier 2. Les outils matériels ne sont d'ailleurs pas les seuls ainsi visés. Les outils symboliques peuvent l'être tout autant. Le philosophe Alain écrit ainsi en 1932 : Puisqu'une machine à compter est possible, une machine à raisonner est possible. Et l'algèbre est déjà une sorte de machine à raisonner : vous tournez la manivelle, et vous obtenez sans fatigue un résultat auquel la pensée n'arriverait qu'avec des peines infinies (…). L'algèbre ressemble à un tunnel : vous passez sous la montagne, sans vous occuper des villages et des chemins tournants, vous êtes de l'autre côté et vous n'avez rien vu. À travers ces points de vue, se dessinent les contours d'une discipline mathématique dont l'essence serait l'exercice d'une pensée pure, visant l'émancipation de toute médiation. Évoquant Platon et Rousseau, Chevallard (1996) parle ainsi, à propos des mathématiques, de la condition dépendante, ancillaire, seconde de l'écriture, qui ne ferait que représenter le langage, qui, lui-même, ne ferait qu'exprimer la pensée. À l'opposé de cette conception, nous voudrions présenter ici un point de vue dialectique sur les relations que les mathématiques entretiennent avec les outils, de différents niveaux, qui interviennent dans leur pratique, leur enseignement et leur apprentissage. I. Les outils en mathématiques, état des lieux Les recherches historiques attestent de l'existence et de la diversité des outils mis en oeuvre dans la pratique du calcul pour les savants aussi bien que dans celle des comptes pour la société. Ces outils apparaissent à la fois comme issus de l'expérience, et comme assistant l'activité des hommes. A. Outils de calcul, caractéristiques anciennes et récentes Cette diversité apparaît à tout moment de l'histoire et dans toute zone géographique. Schärlig (2003) montre par exemple, pour l'Europe, du Moyen Age à la Révolution française, l'extraordinaire variété des objets (tables, panneaux, draps, tapis) entrant dans la pratique du calcul avec jetons. Il distingue, pour cette pratique, deux types d'abaques : des abaques à ligne, outils de calcul (sans unités) et des abaques à bandes, outils de comptes (avec unités).