Scaling limits of random bipartite planar maps with a prescribed degree sequence - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Random Structures and Algorithms Année : 2018

Scaling limits of random bipartite planar maps with a prescribed degree sequence

Limites d'échelle de cartes biparties avec suite des degrés prescrite

Cyril Marzouk

Résumé

We study the asymptotic behaviour of uniform random maps with a prescribed face-degree sequence, in the bipartite case, as the number of faces tends to infinity. Under mild assumptions, we show that, properly rescaled, such maps converge in distribution towards the Brownian map in the Gromov-Hausdorff sense. This result encompasses a previous one of Le Gall for uniform random $q$-angulations where $q$ is an even integer. It applies also to random maps sampled from a Boltzmann distribution, under a second moment assumption only, conditioned to be large in either of the sense of the number of edges, vertices, or faces. The proof relies on the convergence of so-called "discrete snakes" obtained by adding spatial positions to the nodes of uniform random plane trees with a prescribed child sequence recently studied by Broutin & Marckert. This paper can alternatively be seen as a contribution to the study of the geometry of such trees.
Nous étudions le comportement asymptotique de cartes aléatoires uniformes avec une suite des degrés des faces prescrite, dans le cas biparti, lorsque le nombre de faces tend vers l'infini. Sous de faibles hypothèses, nous montrons que de telles cartes convergent en loi, après mise à l'échelle, vers la carte brownienne au sens de Gromov-Hausdorff. Ce résultat recouvre un précédent dû à Le Gall pour les $q$-angulations uniformes où $q$ est un entier pair. Il s'applique également aux cartes de Boltzmann, sous une hypothèse de moment d'ordre deux seulement, conditionnées à être grandes au sens du nombre de sommets, d'arêtes, ou de faces. La preuve repose sur la convergence de « serpents discrets » obtenus en ajoutant une position spatiale aux sommets d'arbres uniformes à suite de degrés sortants fixée, étudiés récemment par Broutin & Marckert. Cet article peut alternativement être vu comme une contribution à l'étude de la géométrie de tels arbres.
Fichier principal
Vignette du fichier
Cartes_degres_prescrits.pdf (584.54 Ko) Télécharger le fichier
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...

Dates et versions

hal-01423027 , version 1 (28-12-2016)
hal-01423027 , version 2 (28-08-2017)

Identifiants

Citer

Cyril Marzouk. Scaling limits of random bipartite planar maps with a prescribed degree sequence. Random Structures and Algorithms, 2018, 53 (3), pp.448-503. ⟨10.1002/rsa.20773⟩. ⟨hal-01423027v2⟩

Collections

ANR
89 Consultations
83 Téléchargements

Altmetric

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More