Nous nous intéressons à un problème d’advection-diffusion non coercif où l’advection domine. Nous présentons une approche numérique possible, à notre connaissance nouvelle, basée sur l’utilisation de la mesure invariante associée au problème. Nous démontrons sur l’exemple traité que l’approche permet de définir une approximation éléments finis du problème bien posée, et ce inconditionnellement en la taille du maillage. Plusieurs variantes de l’approche sont possibles, dont une, qui s’avère stable, conduit à des résultats numériques de qualité tout à fait comparable à ceux obtenus à l’aide d’une méthode classique de stabilisation sur l’équation considérée. Ceci suggère une piste possible, générale, pour toute une classe de problèmes non coercifs.

We study an advection-diffusion equation that is both non-coercive and advection-dominated. We present a possible numerical approach, to our best knowledge new, and based on the invariant measure associated with the original equation. We show that the approach allows for an unconditionally well-posed finite-element approximation. Two variants of the approach are studied. One of them is stable, and as accurate as a classical stabilization approach. This suggests a possible general strategy, applicable to a large class of non-coercive problems.