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Conference Papers Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Year : 2015

Maximal increasing sequences in fillings of almost-moon polyominoes

Abstract

It was proved by Rubey that the number of fillings with zeros and ones of a given moon polyomino that do not contain a northeast chain of a fixed size depends only on the set of column lengths of the polyomino. Rubey’s proof uses an adaption of jeu de taquin and promotion for arbitrary fillings of moon polyominoes and deduces the result for 01-fillings via a variation of the pigeonhole principle. In this paper we present the first completely bijective proof of this result by considering fillings of almost-moon polyominoes, which are moon polyominoes after removing one of the rows. More precisely, we construct a simple bijection which preserves the size of the largest northeast chain of the fillings when two adjacent rows of the polyomino are exchanged. This bijection also preserves the column sum of the fillings. In addition, we also present a simple bijection that preserves the size of the largest northeast chains, the row sum and the column sum if every row of the filling has at most one 1. Thereby, we not only provide a bijective proof of Rubey’s result but also two refinements of it.
Rubey a montré que le nombre de remplissages d’un polyomino lunaire donné par des zéros et des uns qui ne contiennent pas de chaîne nord-est d’une taille fixée ne dépend que de l’ensemble des longueurs des colonnes du polyomino. La preuve de Rubey utilise une adaptation du jeu de taquin et de la promotion sur des remplissages arbitraires de polyominos lunaires et déduit le résultat pour les remplissages 0/1 par inclusion-exclusion. Dans cet article, nous présentons la première preuve bijective de ce résultat en considérant des remplissages de polyominos presque lunaires, qui sont des polyominos lunaires dont on a supprimé une ligne. Plus précisément, nous construisons une bijection simple qui préserve la taille de la plus longue chaîne nord-est des remplissages lorsque deux lignes adjacentes du polyomino sont échangées. Cette bijection préserve aussi la somme des colonnes des remplissages. En outre, nous présentons aussi une bijection simple qui préserve la taille de la plus longue chaîne nord-est, la somme des lignes et la somme des colonnes si chaque ligne du remplissage contient au plus un 1. Nous fournissons donc non seulement une preuve bijective du résultat de Rubey, mais aussi deux raffinements de celui-ci.
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hal-01337823 , version 1 (27-06-2016)

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Svetlana Poznanović, Catherine H. Yan. Maximal increasing sequences in fillings of almost-moon polyominoes. 27th International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2015), Jul 2015, Daejeon, South Korea. pp.229-240, ⟨10.46298/dmtcs.2477⟩. ⟨hal-01337823⟩

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