Les coefficients du pléthysme sont des constantes de structure importantes de la théorie des fonctions symétriques, ainsi que de la théorie de la représentation des groupes symétriques et des groupes généraux linéaires. En 1950, Foulkes a observé pour ces coefficients de phénomènes de stabilité: certaines suites de coefficients du pléthysme sont stationnaires. De telles propriétés ont été démontrées par Brion, au moyen de techniques géométriques, et par Thibon et Carré, au moyen d’opérateurs vertex. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle approche, purement combinatoire, pour démontrer des propriétés de stabilité de ce type. Nous décomposons les coefficients du pléthysme comme somme alternées de coefficients de pléthysme d’un autre type (liés à la base des fonctions symétriques sommes complètes), qui comptent les points entiers dans des polytopes. Nous démontrons la stabilité des suites de ces coefficients en exhibant des bijections entres les ensembles de points entiers des polytopes correspondants.