ENTROPIE DES SEMI-GROUPES D’ISOMÉTRIES D’UN ESPACE HYPERBOLIQUE - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2013

Entropy of Isometries Semi-groups of Hyperbolic space

ENTROPIE DES SEMI-GROUPES D’ISOMÉTRIES D’UN ESPACE HYPERBOLIQUE

Paul Mercat
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 975565

Résumé

We give a generalization to convex co-compact semigroups of a beautiful theorem of Patterson-Sullivan, telling that the critical exponent (that is the exponential growth rate) equals the Hausdorff dimension of the limit set (that is the smallest closed non-empty invariant subset), for a isometries discrete group of a proper hyperbolic space with compact boundary. To do that, we introduce a notion of entropy, which generalize the notion of critical exponent of discrete groups, and we show that it is equal to the upper bound of critical exponents of Schottky sub-semigroups (which are semigroups having the simplest dynamic). We obtains several others corollaries, such that the lower semi-continuity of the entropy, the fact that the critical exponent of a separate semigroup, that is defined as an upper limit, is in fact a true limit, and we obtain the existence of "big" Schottky sub-semigroups in discrete groups of isometries.
Nous généralisons aux semi-groupes convexes co-compacts un très joli théorème de Patterson-Sullivan, donnant l'égalité entre exposant critique (c'est-à-dire la vitesse exponentielle de croissance) et dimension de Hausdorff de l'ensemble limite (c'est-à-dire la taille du plus petit fermé invariant non vide), d'un groupe discret d'isométrie d'un espace hyperbolique. Nous démontrons ce résultat dans le cadre général des semi-groupes d'isométries d'un espace Gromov-hyperbolique propre à bord compact. Pour cela, nous introduisons une notion d'entropie, qui généralise la notion d'exposant critique des groupes discrets, et nous montrons que celle-ci est égale à la borne supérieure des exposants critiques des sous-semi-groupes de Schottky (c'est-à-dire les semi-groupes ayant la dynamique la plus simple). Nous obtenons ainsi plusieurs autres corollaires tels que la semi-continuité inférieure de l'entropie, le fait que l'exposant critique d'un semi-groupe séparé, qui est définit comme une limite supérieure, soit en fait une vraie limite, et enfin l'existence de « gros » sous-groupes de Schottky dans les groupes discrets d'isométries.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-01275881 , version 1 (24-02-2016)

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Citer

Paul Mercat. ENTROPIE DES SEMI-GROUPES D’ISOMÉTRIES D’UN ESPACE HYPERBOLIQUE. 2013. ⟨hal-01275881⟩
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