Sur la recherche de φ-entropie à maximisante donnée
Résumé
In this paper, we are interested in maximum entropy problems under moment constraints. Contrary to the usual problem of finding the maximizer of a given entropy, or of selecting constraints such that a given distribution is a maximizer, we focus here on the determination of an entropy such that a given distribution is its maximizer. The goal is in some sense to adapt the entropy to its maximizer, with potential application in entropy-based goodness-of-fit tests. It allows us to consider distributions out the exponential family – to which the maximizers of the Shannon entropy belong, and also to consider simple moment constraints, estimated from the observed sample. Finally, this approach also yields entropic functionals that are function of both probability density and state, allowing us to include skew-symmetric or multimodal distributions in the setting.
Nous nous intéressons ici au problème de lois d’entropie maximum, sous contraintes de moments. Contrairement au problème usuel de recherche de maximisante d’une entropie donnée, ou de contraintes pour qu’une loi fixée soit maximisante, nous considérons la recherche de l’entropie elle-même telle qu’une loi donnée en soit sa maximisante. Il s’agit en quelques sorte d’adapter l’entropie à la maximisante. Cette approche trouve potentiellement des applications dans les problèmes de tests d’adéquation basés sur des critères entropiques. Elle permet de sortir du cadre des lois de la famille exponentielle, correspondant aux maximisantes de l’entropie de Shannon, et également de se limiter à des contraintes de moment simples, en pratique estimés à partir de l’échantillon observé. Cette approche nous conduit enfin à définir des fonctionnelles entropiques fonction à la fois de la densité de probabilité et de l’état, permettant de traiter des lois non symétriques ou multimodales.