The three wives problem and Shapley value
Résumé
We examine the Talmudic three wives problem, which is a generalization of the Talmudic contested garment problem solved by Aumann and Maschler (1985) using coalitional procedure. This problem has many practical applications. In an attempt to unify all Talmudic methods, Guiasu (2010, 2011) asserts that it can be explained in terms of “run-to-the-bank”, that is, of Shapley value in a “cumulative game”. It can be challenged because the coalitional procedure yields the same result as the nucleolus, which corresponds to a “dual game”. As Guiasu's solution is paradoxical (it has all the appearances of truth), my contribution consists in explaining the concepts, particularly truncation, that play a central role in the demonstration, and then analyzing in what way Guiasu's argument is misleading. After recalling what the Talmudic division problem is, how it is solved by Aumann and Maschler's coalitional procedure (i.e., the nucleolus or the Shapley value of the dual game), and how Guiasu solves it by the Shapley value of a cumulative game, I show that (i) Guiasu omitted to truncate the data (claims exceeding the value of the estate must be reduced to the available level of estate), while truncation is required in the context. (ii) He attributes the surplus (obtained after sharing out the estate) to all applicants equally: this contradicts the contested garment solution. (iii) This implies that the estate cannot exceed the greatest claim, which is obviously false. (iv) Guiasu's approach violates the axiom of continuity of payoffs. I conclude that Guiasu's attempt to explain the three wives problem in terms of “run-to-the-bank” is unsuccessful and actually contradicts the contested garment problem.
Nous examinons un des problèmes talmudiques historiques, les trois épouses, une généralisation du problème talmudique du vêtement contesté, résolu par Aumann et Maschler (1985) en utilisant la procédure coalitionnelle. Ce problème a de nombreuses applications pratiques. Dans sa tentative pour unifier toutes les méthodes talmudiques, Guiasu (2010, 2011) dit qu'il peut être expliqué en termes de “ruée vers la banque”, c.a.d. de valeur de Shapley dans un “jeu cumulatif”. Cette approche doit être reconsidérée parce que la procédure coalitionnelle donne le même résultat que le nucléolus qui correspond à un “jeu dual”. Comme la solution de Guiasu est paradoxale (elle a toutes les apparences de la vérité), ma contribution est d'expliquer les concepts, principalement la troncation qui joue un rôle central dans la démonstration, puis d'analyser en quoi l'argument de Guiasu est inadapté. Après avoir rappelé ce qu'est le problème du partage selon le Talmud, comment il est résolu par la procédure coalitionnelle d'Aumann et Maschler (c.à.d. le nucléolus ou la valeur de Shapley du jeu dual) et comment Guiasu la résout par la valeur de Shapley d'un jeu cumulatif, on montre que: 1) Guiasu a omis de tronquer de données (les demandes qui dépassent la richesse doivent être réduites au niveau de la richesse disponible) alors que c'est nécessaire ici. 2) Il attribue l'excédent (obtenu après le partage de la richesse) à tous les candidats de manière égale: cela contredit la solution du vêtement contesté. 3) Ceci implique que la richesse ne peut pas dépasser la plus grande demande, ce qui est évidemment faux. 4) L'approche de Guiasu viole l'axiome de continuité des paiements. On conclut que la tentative de Guiasu de réunifier les méthodes de partage selon le Talmud par la valeur de Shapley est n'est pas couronnée de succès et est en fait contradictoire avec le vêtement contesté.
Domaines
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