Formes modulaires modulo 2 : l'ordre de nilpotence des opérateurs de Hecke
Résumé
Soit $\D= \sum_{m=0}^\infinity q^{(2m+1)^2} \in \F_2[[q]]$. Une forme modulaire $f$ mod 2 de niveau 1 est un polynôme en $\D$. Si $p$ est un nombre premier $>2$, l'opérateur de Hecke $T_p$ transforme $f$ en une forme modulaire $T_p(f)$ qui est un polynôme en $\D$ de degré plus petit que celui de $f$, de sorte que $T_p$ est nilpotent. L'ordre de nilpotence de $f$ est défini comme le plus petit entier $g=g(f)$ tel que, pour tout ensemble de $g$ nombres premiers impairs $p_1,p_2, ... ,p_g$, on ait $T_{p_1}T_{p_2} ... T_{p_g}(f)=0$. Nous montrons dans ce qui suit comment on peut calculer $g(f)$; on a $g(f) << deg(f)^{1/2}$.