Une démonstration du théorème de Catalan-Mihailescu et généralisation à la conjecture de Pilai
Résumé
Plus d'un siècle après sa formulation par le mathématicien Belge Eugene Catalan, Preda Mihailescu a résolu le problème demeure jusque-là ouvert. Mais, est-ce tout ? On est en droit de se poser la question parce que la solution de Mihailescu utilise abondamment le calcul sur machines. Quoique l'on pense sur l'aide apportée par les machines au travail humain, la question qui se pose reste celle de l'existence d'une preuve totalement algébrique. En fait, nous proposons dans ce travail une telle démonstration qui en plus simplifie largement la question et la met sur une une autre orbite, celle des théorèmes les plus fameux de la théorie des nombres. Notre preuve est élémentaire et répond à une quête inscrite sciemment dans nos travaux de recherche. Car le problème de Catalan, même s'il est résolument moderne, plonge ses racines dans le moyen-âge d'il y a mille ans. C'est à cette époque-là en effet que l'énigme est née avec Levy Ben Gershom. Si le présent travail s'avère concluant, on pourra en effet dire que l'énigme aurait pu être résolue des le XII eme siècle. Telle est la gageure et le but de ce mémoire : présenter une solution assez élémentaire pour qu'elle eut pu être trouvée il y a environ mille ans. Car cette énigme, au-delà de son intérêt mathématique intrinsèque est l'une des plus anciennes et des plus captivantes de l'humanité. Cependant, aussi intéressant que soit ce résultat, il ne suffit pas car nous avons généralisé l'approche aux équations de Pilai et démontré qu'elles ont un nombre fini de solutions.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)