We build examples of properly convex projective manifold $\Omega/ \Gamma$ which have finite volume, are not compact, nor hyperbolic in every dimension $n \geqslant 2$. On the way, we build Zariski-dense discrete subgroups of $\SL_{n+1}(\R)$ which are not lattice, nor Schottky groups. Moreover, the open properly convex set $\Omega$ is strictly-convex, even Gromov-hyperbolic. Nous construisons des exemples de variétés projectives $\Omega/ \Gamma$ proprement convexes de volume fini, non hyperbolique, non compacte en toute dimension $n \geqslant 2$. Ceci nous permet au passage de construire des groupes discrets Zariski-dense de $\SL_{n+1}(\R)$ qui ne sont ni des réseaux de $\SL_{n+1}(\R)$, ni des groupes de Schottky. De plus, l'ouvert proprement convexe $\Omega$ est strictement convexe, même Gromov-hyperbolique.