Sur l'homologie des groupes orthogonaux et symplectiques à coefficients tordus - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Article Dans Une Revue Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure Année : 2010

Sur l'homologie des groupes orthogonaux et symplectiques à coefficients tordus

Résumé

We compute the stable homology of orthogonal and symplectic groups over a finite field k with coefficients coming from an usual endofunctor F of k-vector spaces (exterior, symmetric, divided powers...), that is, for all natural integer i, we compute the colimits of the vector spaces $H_i(O_{n,n}(k) ; F(k^{2n}))$ and $H_i(Sp_{2n}(k) ; F(k^{2n}))$. In this situation, the stabilization is a classical result of Charney. We give a formal framework to connect stable homology of some families of groups and homology of suitable small categories thanks to a spectral sequence which collapses in several cases. By our purely algebraic methods (i.e. without stable K-theory) we obtain again results of Betley for stable homology of linear groups and symmetric groups. For orthogonal and symplectic groups over a field we prove a categorical result for vector spaces equipped with quadratic or alternating forms and use powerful cancellation results known in homology of functors (Suslin, Scorichenko, Djament) to deduce a spectacular simplification of the second sheet of our general spectral sequence. When we consider the orthogonal and symplectic groups over a finite field and we take coefficients with values in vector spaces over the same field, we can compute the second sheet of the spectral sequence thanks to classical results: homological cancellation with trivial coefficients (Quillen, Fiedorowicz-Priddy) and calculation of torsion groups between usual functors (Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin, Chalupnik).
On calcule dans cet article l'homologie stable des groupes orthogonaux et symplectiques sur un corps fini k à coefficients tordus par un endofoncteur usuel F des k-espaces vectoriels (puissance extérieure, symétrique, divisée...), c'est-à-dire, pour tout entier naturel $i$, les colimites des espaces vectoriels $H_i(O_{n,n}(k) ; F(k^{2n}))$ et $H_i(Sp_{2n}(k) ; F(k^{2n}))$ --- dans cette situation, la stabilisation (avec une borne explicite en fonction de i et F) est un résultat classique de Charney. Tout d'abord, nous donnons un cadre formel pour relier l'homologie stable de certaines suites de groupes à l'homologie de petites catégories convenables, à l'aide d'une suite spectrale, qui dégénère dans de nombreux cas favorables. Cela nous permet d'ailleurs de retrouver des résultats de Betley sur l'homologie stable des groupes linéaires et des groupes symétriques, par des méthodes purement algébriques (sans recours à la K-théorie stable). Pour une application exploitable de ce formalisme aux groupes orthogonaux ou symplectiques sur un corps commutatif, nous démontrons un résultat catégorique sur les espaces vectoriels munis d'une forme quadratique ou alternée et employons de puissants résultats d'annulation connus en homologie des foncteurs (Suslin, Scorichenko, Djament) pour en déduire une simplification spectaculaire de la deuxième page de la suite spectrale générale. Dans le cas où les groupes orthogonaux ou symplectiques sont pris sur un corps fini, et les coefficients à valeurs dans les espaces vectoriels sur ce même corps, nous pouvons mener le calcul de cette deuxième page grâce à des résultats classiques : annulation homologique à coefficients triviaux (Quillen, Fiedorowicz-Priddy), et calcul des groupes de torsion entre foncteurs usuels (Franjou-Friedlander-Scorichenko-Suslin, Chalupnik).
Fichier principal
Vignette du fichier
dv.pdf (661.66 Ko) Télécharger le fichier
Origine Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Loading...

Dates et versions

hal-00315573 , version 1 (29-08-2008)
hal-00315573 , version 2 (18-09-2008)
hal-00315573 , version 3 (05-01-2009)
hal-00315573 , version 4 (19-10-2009)

Identifiants

Citer

Aurélien Djament, Christine Vespa. Sur l'homologie des groupes orthogonaux et symplectiques à coefficients tordus. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 2010, 43 (3), pp.395-459. ⟨hal-00315573v4⟩
217 Consultations
226 Téléchargements

Altmetric

Partager

Gmail Mastodon Facebook X LinkedIn More