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Ouvrages Année : 2011

Modélisation et calcul des structures élancées

Alain Millard
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1147267

Résumé

Toute théorie de milieu continu repose sur le choix d’une description géométrique de l’objet d’étude : c’est la première étape du processus de modélisation. La deuxième étape est la modélisation des efforts, dont l’utilisation systématique de la dualité permet d’assurer la cohérence avec la description géométrique. L’application du principe fondamental de la dynamique classique fournit alors les équations du mouvement sur lesquelles repose la théorie. Le principe des puissances virtuelles systématise l’ensemble de ce processus à partir de la description géométrique. Il faut ensuite incorporer dans cette théorie les informations relatives à la nature des matériaux constitutifs : c’est l’objet des lois de comportement dont l’écriture est codifiée par de grands principes axiomatiques : principe d’isotropie de l’espace, premier et second principes de la thermodynamique, etc...

Le résultat de ce travail préliminaire (équations du mouvement issues de la description géométrique et loi de comportement) fournit un ensemble d’équation. Le développement complet de la théorie particularise cet ensemble d’équation, dans le cadre d’un certain nombre d’hypothèses de travail qui doivent être clairement identifiées, à des situations génériques. La résolution de ces équations permet alors d’obtenir des prédictions relatives à certaines situations concrètes que l’ingénieur est amené à étudier. Dans certains cas, il est possible d’obtenir des solutions exactes de ces équations sous forme explicite. Cette circonstance est néanmoins exceptionnelle et, en pratique, on ne peut très souvent n’avoir accès qu’à des solutions approchées des équations fournies par la modélisation et de la théorie qui s’appuie dessus.

On supposera ici que le lecteur a déjà été confronté à l’ensemble de cette démarche qui fonde le calcul des structures, en ayant étudié la théorie de l’élasticité du milieu continu tridimensionnel classique. Remettant en œuvre le même schéma pour construire la théorie non-linéaire des poutres élastiques, nous espérons ainsi que les deux constructions pourront se nourrir l’une de l’autre et que le lecteur en tirera de la profondeur de compréhension de chacune des théories.

Historiquement, le développement de la théorie des poutres élastiques a précédé celui de l’élasticité du milieu continu tridimensionnel classique. Il n’y a rien d’étonnant à cela car la théorie des poutres est techniquement plus simple que celle du milieu continu tridi-mensionnel, les équations aux dérivées partielles y disparaissant systématiquement au pro-fit d’équations différentielles ordinaires. Cette simplicité technique enrichit la théorie d’unefoule d’exemples explicites qui permettent d’en illustrer avec bonheur la présentation. Cette simplicité est également mise-à-profit ici pour approfondir le propos dans des directions, en général, peu développées dans une première présentation de l’élasticité tridimensionnelle :
• l’étude de l’élasto-dynamique linéarisée à l’aide des modes propres de vibrations dont de nombreux exemples explicites sont disponibles,
• l’étude des manifestations de non-linéarité que sont les divers types d’instabilité-bifurcation.
Comme le caractère élancé favorise l’apparition de ce type de phénomène, il ne peut être question, dans une présentation de la théorie des poutres élastiques, de faire l’impasse sur ces questions qui constituent un mode de ruine fréquemment rencontré dans ce contexte.

Ce cours se conclura par l’analyse systématique des liens entre théorie de l’élasticité tridimensionnelle et théorie des poutres, avec une brève introduction aux développements asymptotiques. Ce formalisme dont le développement est récent (le début des années 1980), s’appuie sur les techniques de l’homogénéisation.

La matière qui est présentée ici dépasse de très loin le contexte du calcul des structures constituées de poutres élastiques. En effet, l’ensemble constitué de la construction de la théorie et des méthodes de calcul présentées se transpose sans beaucoup d’effort au contexte de théories de milieu continu reposant sur d’autres descriptions géométriques : théorie des coques, des milieux micropolaires, des pièces longues en voiles minces, etc... Le contexte des poutres est vu ici comme un exemple permettant d’illustrer presque tous les aspects du vaste domaine du calcul des structures (les exceptions notables sont celles des comportements irréversibles qui ne seront pas abordés ici, ainsi que le calcul des singularités).
Fichier non déposé

Dates et versions

hal-00088535 , version 1 (02-08-2006)

Identifiants

  • HAL Id : hal-00088535 , version 1

Citer

Patrick Ballard, Alain Millard. Modélisation et calcul des structures élancées. École polytechnique, pp.145, 2011. ⟨hal-00088535⟩
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