Pseudo-groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux - Archive ouverte HAL Access content directly
Books Year : 2021

Pseudo-groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux

Frank Loray

Abstract

Un feuilletage holomorphe singulier, en dimension deux, est localement défini par un champ de vecteur holomorphe à zéro isolé : les feuilles sont les trajec- toires complexes du champ de vecteur. L’étude des singularités de ces feuilletages, débutée à la fin du 19ème siècle avec les travaux de Poincaré et Dulac, a connu un fort développement à partir des années 80. Outre les problèmes de classification analytique, le thème qui nous intéresse particulièrement dans cet ouvrage est le lien entre l’existence d’un certain type d’intégrale première (multiforme) pour le feuilletage et la finitude de la dimension du pseudo-groupe d’holonomie. Par exemple, le feuilletage admet une intégrale première dans la classe de Liouville si, et seulement si, le pseudo-groupe est affine, de dimension deux. La dimension est celle de la clôture du pseudo-groupe pour une topologie adéquate : nous comparerons dans cet ouvrage la clôture pour la convergence uniforme et la clôture de type Zariski introduite par Bernard Malgrange pour définir le groupoïde de Galois du feuilletage. Si la seconde conduit à une caractérisation simple et complète de l’intégrabilité du feuilletage, la première a l’avantage d’être de nature topologique/dynamique ; les deux approches coïncident sur une large classe de feuilletages. La première partie du texte est consacrée à l’étude des groupes de germes de difféomorphismes analytiques fixant 0 ∈ C, i.e. des sous-groupes de Diff(C,0). Après avoir rappelé les résultats de classifications formelle et analytique, nous donnons une description complète de la dynamique du pseudo-groupe induit sur un voisinage de 0 ainsi que ses clôtures pour les deux topologies précédentes. Comme résurgence du Théorème de Lie sur la classification des géométries de la droite, nous obtenons la dichotomie suivante : ou bien le pseudo-groupe est de dimension ≤ 2 et sa dynamique est affine ou essentiellement discrète, ou bien il est de dimension infinie et sa clôture est le pseudo-groupe de toutes les transformations conformes. La seconde alternative est spécialement spectaculaire dans le cas de la topologie de convergence uniforme. Ces résultats reposent sur une étude complète des germes de difféomorphismes tangents à l’identité : ils apparaissent naturellement comme commutateurs des éléments de Diff(C,0); c’est le cœur de la première partie de notre ouvrage. Dans la seconde partie, nous rappelons la classification analytique des singularités réduites (ou non dégénérées) puis expliquons, à l’aide de la résolution des singularités par éclatements, comment décortiquer le pseudo-groupe d’holonomie le long du diviseur exceptionnel. L’holonomie des composantes invariantes du diviseur en sont des ingrédients essentiels : ce sont des sous-groupes de Diff(C,0). Nous terminons par le résultat principal : un critère topologique d’intégrabilité pour une large classe de singularités. On y utilise toutes les notions développées durant ce livre ainsi que les résultats obtenus par Guy Casale sur la classification des groupoïdes de Galois et sur les intégrales premières d’un feuilletage.
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Dates and versions

hal-00016434 , version 1 (04-01-2006)
hal-00016434 , version 2 (08-05-2021)

Identifiers

Cite

Frank Loray. Pseudo-groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux. SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA ENSAIOS MATEMÁTICOS. 36, pp.53-274, 2021, Ensaios Matemáticos, ⟨10.21711/217504322021/em362⟩. ⟨hal-00016434v2⟩
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