Law of large numbers for greedy animals and paths in a Poissonian environment
Loi des grands nombres pour les animaux gourmands dans un environnement poissonien
Résumé
We study two continuous and isotropic analogues of the model of greedy lattice animals introduced by Cox, Gandolfi, Griffin and Kesten in 1993. In our framework, animals collect masses scattered on a Poisson point process on $\mathbb R^d$, and are allowed to have vertices outside the process or not, depending on the model. The author recently proved in a more general setting that for all $u$ in the Euclidean open unit ball, the maximal mass of animals with length $\ell$, containing $0$ and $\ell u$ satisfies a law of large numbers. We prove some additional properties in the Poissonian case, including an extension of the functional law of large numbers to the closed unit ball, and study strict monotonicity of the limit function along a radius. Moreover, we prove that a third, penalized model is a suitable interpolation between the former two.
Nous étudions deux analogues continus et isotropes du modèle d'animaux gourmands discrets introduit par Cox, Gandolfi, Griffin et Kesten en 1993. Dans notre cadre, les animaux récoltent des masses réparties sur un processus ponctuel de Poisson sur $\mathbb R^d$, et peuvent avoir des sommets en dehors du processus, ou pas, selon le modèle. L'auteur a récemment prouvé, dans un cadre plus général, une loi des grands nombres pour la masse maximale des animaux de longueur $\ell$, qui contiennent $0$ et $\ell u$, pour tout $u$ dans la boule euclidienne ouverte de rayon $1$. Nous prouvons des propriétés supplémentaires dans le cas poissonien : extension de la loi des grands nombres fonctionnelle sur la boule unité fermée, stricte monotonie de la fonction limite le long d'un rayon. De plus, nous montrons qu'un troisième modèle, le modèle pénalisé, est une bonen interpolation entre les deux précédents.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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