Stabilité asymptotique des fronts d’invasion dans les équations de réaction-diffusion - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 2022

Asymptotic stability of invasion fronts in reaction-diffusion equations

Stabilité asymptotique des fronts d’invasion dans les équations de réaction-diffusion

Abstract

Certaines équations aux dérivées partielles admettent des solutions en onde de propagation. Dans le cas particulier où le profil de l'onde connecte deux états constants distincts, on parle de front. Les équations de réaction-diffusion, introduites pour modéliser de nombreux phénomènes biologiques, laissent apparaître de telles solutions. Savoir lesquels de ces fronts sont stables est important, puisque ceux-ci attirent alors les solutions génériques, et décrivent donc leurs propriétés. Dans cette thèse, on s'intéresse à des fronts monostables, c'est-à-dire à des ondes connectant un état constant stable à un état constant instable. On obtient dans trois scénarios différents la stabilité asymptotique de fronts monostables. Le chapitre 2 traite d'une équation de FKPP étendue. Cette EDP présente une dérivée d'ordre 4 dont le coefficient est choisi arbitrairement proche de 0. Dans ce contexte, nous obtenons à nouveau l'existence d'un front critique. De plus, nous étudions les propriétés spectrales de la linéarisation au voisinage de ce front. La description précise de ce spectre, et en particulier la situation à l'origine, a pour conséquence la stabilité asymptotique du front. Le chapitre 3 s'intéresse à une situation où l'état constant à l'arrière d'un front FKPP devient également instable. Cette situation apparaît naturellement dans l'équation FKPP avec terme de réaction non-local, mais est plutôt étudiée ici pour un système. Lorsqu'une bifurcation de Turing déstabilise l'état constant à l'arrière, on montre que le front FKPP critique reste stable dans un repère en translation. Le chapitre 4 étudie des équations de bilan, aussi appelées équations de réaction-advection. L'absence de laplacien, et la présence d'un terme quasi-linéaire, peuvent mener à des solutions discontinues en espace. Bien que le cadre semble différent, nos conclusions sont très similaires au cas FKPP. En particulier, nous obtenons la stabilité de fronts surcritiques.
Several Partial Differential Equations admit propagating waves as solutions. In case where the wave profile connects two distinct constant states, these waves are called fronts. They typically appear as solutions of reaction-diffusion equations, and model a large number of biological phenomenons. To decide which of these solutions are the stable ones is fundamental, since the latter attract, and thus describe, generic solutions. In this PhD, we focus on monostable fronts, that are waves connecting a constant stable state to a constant unstable state. We obtain in three distinct situations the asymptotic stability of monostable fronts. Chapter 2 deals with an extended FKPP equation. This PDE contains a fourth order space derivative, whose coefficient is chosen arbitrarily close to 0. In this context, we re-obtain the existence of a critical front. Furthermore, we study the spectral properties of the linearization near this front. The asymptotic stability of the latter is a consequence of the precise description of the spectrum, in particular of the situation at the origin. Chapter 3 is about à situation where the constant state behind a FKPP front destabilizes. Although this phenomenon naturally appear in the FKPP equation with non-local reaction term, we rather investigate it for a system of equations. When a Turing bifurcation destabilize the constant state behind the front, we show that the critical FKPP front stay asymptotically stable in a co-moving frame. Chapter 4 studies balance laws, also known as reaction-advection equations. The absence of Laplacian, together with the presence of a quasi-linear term, may lead to space-discontinuous solutions. Despite the apparently distinct framework, our conclusions are very similar to the FKPP case. In particular, we obtain super-critical fronts stability.
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tel-03726785 , version 1 (18-07-2022)

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Cite

Louis Garénaux. Stabilité asymptotique des fronts d’invasion dans les équations de réaction-diffusion. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Toulouse 3 - Paul Sabatier, 2022. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03726785⟩
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