Thèse Année : 2025

Investigation into phenomena surrounding universally Baire sets

Enquête sur les phénomènes entourant les ensembles universellement Baire

Résumé

This thesis presents my contributions to various aspects of the theory of universally Baire sets. One of these aspects is the smallest inner model containing all reals whose all sets of reals are universally Baire (viz., $L(\mathbb{R})$) and its relation to its inner model $\mathsf{HOD}$. We verify here that $\mathsf{HOD}^{L(\mathbb{R})}$ enjoys a form of local definability inside $L(\mathbb{R})$, further justifying its characterization as a "core model" in $L(\mathbb{R})$. We then study a "bottom-up" construction of more complicated universally Baire sets (more generally, determined sets). This construction allows us to give an "$L$-like" description of the minimum model of $\mathsf{AD}_{\mathbb{R}} + \mathsf{Cof}(\Theta) = \Theta$. A consequence of this description is that this minimum model is contained in the Chang-plus model. Our construction, together with Woodin's work on the Chang-plus model, shows that a proper class of Woodin cardinals which are limits of Woodin cardinals implies the existence of a hod mouse with a measurable limit of Woodin cardinals whose strategy is universally Baire. Another aspect of the theory of universally Baire sets is the generic absoluteness and maximality associated with them. We include some results concerning generic $\Sigma_1^{H(\omega_2)}$-absoluteness with universally Baire sets as predicates or parameters, as well as generic $\Pi_2^{H(\omega_2)}$-maximality with universally Baire sets as predicates. In the second case, we are led to consider the general question of when a model of an infinitary propositional formula can be added by a stationary-set-preserving poset. We characterize when this happens in terms of a game which is a variant of the Model Existence Game. We then give a sufficient condition for this in terms of generic embeddings.

Cette thèse présente mes contributions à divers aspects de la théorie des ensembles universellement Baire. L'un de ces aspects est le plus petit modèle intérieur contenant tous les réels dont tous les ensembles de réels sont universellement Baire (à savoir, $L(\mathbb{R})$) et sa relation avec son modèle intérieur $\mathsf{HOD}$. Nous vérifions ici que $\mathsf{HOD}^{L(\mathbb{R})}$ bénéficie d'une forme de définissabilité locale à l'intérieur de $L(\mathbb{R})$, ce qui justifie sa caractérisation en tant que « modèle de cœur » dans $L(\mathbb{R})$. Nous étudions ensuite une construction « ascendante » d'ensembles universellement Baire plus compliqués (plus généralement, des ensembles déterminés). Cette construction nous permet de donner une description du « type $L$ » du plus petit modèle de $\mathsf{AD}_{\mathbb{R}} + \mathsf{Cof}(\Theta) = \Theta$. Une conséquence de cette description est que ce plus petit modèle est contenu dans le modèle Chang-plus. Lorsque nous combinons notre construction et les travaux de Woodin sur le modèle Chang-plus, il s'ensuit qu'une classe propre de cardinaux de Woodin qui sont des limites de cardinaux de Woodin implique l'existence d'une souris du type hod avec une limite mesurable de cardinaux de Woodin dont la stratégie est universellement Baire. Un autre aspect de la théorie des ensembles universellement Baire est l'absoluité et la maximalité génériques qui leur sont associées. Nous incluons certains résultats concernant l'absoluité générique de formules qui sont $\Sigma_1^{H(\omega_2)}$ et qui utilisent des ensembles universellement Baire en tant que prédicats ou paramètres, ainsi que la maximalité générique de certaines formules qui sont $\Pi_2^{H(\omega_2)}$ et qui utilisent des ensembles universellement Baire comme prédicats. Dans le second cas, nous sommes amenés à considérer la question générale de savoir quand un modèle d'une formule propositionnelle infinitaire peut être ajouté par un poset préservant les ensembles stationnaires de $\omega_1$. Nous caractérisons quand cela se produit en termes d'un jeu qui est une variante du jeu d'existence de modèle. Enfin, nous donnons une condition suffisante pour cela en termes de plongements génériques.

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tel-05126507 , version 1 (23-06-2025)
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  • HAL Id : tel-05126507 , version 1

Citer

Obrad Kasum. Investigation into phenomena surrounding universally Baire sets. Logic [math.LO]. Université Paris Cité, 2025. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-05126507v1⟩
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