The Quintic Volatility Model for SPX and VIX: A 360 Tour
Le modèle de volatilité quintique pour SPX and VIX : Un tour 360
Résumé
Can joint calibration of SPX and VIX volatility smiles be achieved without appealing to multiple-factors, jumps, roughness or path-dependency? Is joint calibration possible with parsimonious one-factor continuous Markovian models? If so, can we do it in a tractable way? In this thesis, we show the answer to all the above questions is a resounding: Yes. We introduce a novel continuous Markovian stochastic volatility model - the Quintic Ornstein–Uhlenbeck (OU) volatility model. The main characteristic of this model is that the volatility process is a polynomial function of degree five of a single OU process with fast mean reversion and large vol-of-vol. Despite being strikingly simple with only six model parameters, the Quintic OU model can achieve remarkable joint fits of SPX and VIX volatility smiles for maturities between one week to three months. Even better, the model remains very simple and tractable for pricing and calibration: the VIX squared is again polynomial in the OU process, leading to fast VIX derivative pricing by a simple integration with respect to the Gaussian density. The model admits a semi-explicit expression of the characteristic function of log spot, hence allowing fast pricing and hedging of SPX derivatives via Fourier techniques. By adding a second factor, the model can achieve joint calibration of the full volatility surface of SPX and VIX while remaining consistent with the empirical skew-stickiness ratio (SSR) and stylized facts of the SPX. To further validate the performance of the Quintic OU model, we conducted an extensive empirical study using option data from CBOE on the SPX and VIX for over 11 years between 2011 and 2022. Through various numerical techniques, such as functional quantization and Neural Networks, our empirical study reveals that the Quintic OU model consistently outperforms its rough and non-Markovian counterparts across all market conditions and highlights the inconsistencies and structural limitations within rough volatility models.
Peut-on calibrer conjointement les surfaces de volatilité de SPX et VIX sans recourir à des modèles multi-facteurs, aux sauts, volatilité rough et volatilité path-dependent? La calibration jointe est-elle possible avec des modèles parcimonieux à un facteur, continus et markoviens ? Si oui, peut-on y parvenir de manière exploitable ? Dans cette thèse, nous montrons que la réponse à toutes ces questions est un retentissant oui. Nous introduisons un nouveau modèle de volatilité stochastique continu et markovien : le modèle de volatilité quintique Ornstein–Uhlenbeck (OU). La principale caractéristique de ce modèle est que le processus de volatilité est une fonction polynomiale de degré cinq d’un unique processus OU avec un retour à la moyenne rapide et une forte volatilité de volatilité (vol-of-vol). Bien qu’extrêmement simple avec seulement six paramètres, le modèle Quintic OU permet d’obtenir des calibrations remarquables des surfaces de volatilité jointes de SPX et VIX pour des maturités comprises entre une semaine et trois mois. Encore mieux, le modèle reste très simple et exploitable pour le pricing et la calibration : le VIX au carré est également un polynôme en le processus OU, ce qui permet un pricing rapide des dérivés VIX via une simple intégration par rapport à la densité gaussienne. Le modèle admet une expression semi-explicite de la fonction caractéristique du logarithme du spot, permettant ainsi un pricing rapides des dérivés SPX via des techniques de Fourier. En ajoutant un second facteur, le modèle peut calibrer conjointement la surface de volatilité entière de SPX et VIX tout en restant cohérent avec le ratio empirique de skew-stickiness (SSR) et les faits stylisés du SPX. Pour valider davantage les performances du modèle Quintic OU, nous avons mené une vaste étude empirique en utilisant des données d'options du CBOE sur le SPX et le VIX couvrant plus de 11 ans, entre 2011 et 2022. Grâce à diverses techniques numériques, telles que la quantification fonctionnelle et les réseaux neuronaux, notre étude révèle que le modèle Quintic OU surpasse systématiquement ses homologues rough et non-markoviens dans toutes les conditions de marché. Elle met également en lumière les incohérences et les limitations structurelles des modèles de volatilité rough.
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