On the action of the finite subgroups of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ on the Jordan quiver variety and Procesi bundles - Archive ouverte HAL
Thèse Année : 2024

On the action of the finite subgroups of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ on the Jordan quiver variety and Procesi bundles

Action des sous-groupes finis de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ sur la variété de Nakajima du carquois de Jordan et Fibrés de Procesi

Raphaël Paegelow
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1402021

Résumé

If $\Gamma$ denotes a finite subgroup of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$, one starting point of this thesis is the geometrical and combinatorial study of the action $\Gamma$ on the punctual Hilbert scheme. This work uses quiver varieties to describe the irreducible components of the $\Gamma$-fixed points locus. This led to the construction of a model of the indexing set of the irreducible components when $\Gamma$ is of type $D$ in terms of symmetric partitions of integers as well as the exhibition of a link with projectives and symplectic resolutions of wreath singularities. In another direction, the structure of representation of the symmetric group and of $\Gamma$ of the fibers of the restriction of the Procesi bundle to the irreducibles components of the $\Gamma$-fixed point locus of the punctual Hilbert scheme has been explored and resulted in a reduction theorem. In type $A$, it involves the combinatorics of cores and it generalizes results of the coinvariant algebra of the symmetric group.
Si $\Gamma$ est un sous-groupe fini de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$, un des points de départ de ce travail de thèse est l’étude géométrique et combinatoire de l’action de $\Gamma$ sur le schéma ponctuel de Hilbert. Ce travail passe par la description des composantes irréductibles du lieu des $\Gamma$-points fixes en termes de variétés de carquois. Il a mené à la construction d’un modèle de l’ensemble d’indexation des composantes irréductibles pour $\Gamma$ de type $D$ en termes de partitions d’entiers symétriques ainsi qu’à l’exhibition d’un lien avec les résolutions projectives et symplectiques de singularités en couronnes. Dans une autre direction, la structure de représentation du groupe symétrique et de $\Gamma$ des fibres de la restriction du fibré de Procesi aux composantes irréductibles du lieu des $\Gamma$-points fixes du schéma ponctuel de Hilbert a été exploré et a aboutit à un théorème de réduction. En type $A$, il fait intervenir la combinatoire des c\oe urs et il généralise des résultats sur l’algèbre des coinvariants du groupe symétrique.
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tel-04680835 , version 1 (29-08-2024)
tel-04680835 , version 2 (26-09-2024)

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  • HAL Id : tel-04680835 , version 1

Citer

Raphaël Paegelow. On the action of the finite subgroups of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ on the Jordan quiver variety and Procesi bundles. Representation Theory [math.RT]. Université de Montpellier, 2024. English. ⟨NNT : 2024UMONS002⟩. ⟨tel-04680835v1⟩
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