The Littlewood problem and non-harmonic Fourier series
Le problème de Littlewood et les séries de Fourier non-harmoniques
Résumé
We investigate trigonometric polynomials both in the harmonic and the nonharmonic (non-periodic) case. More precisely, we are interested in lower bounds for L1- norms or B1-norms (Besicovitch-norms) of such polynomials. We study harmonic trigonometric polynomials with quadratic frequencies. We extend previous results for polynomials having only zero or one as coefficients to polynomials with complex coefficients. Furthermore, we obtain that up to a multiplicative constant, the square root is a lower bound for the L1-norms of polynomials with monotone and uniformly bounded coefficients. Next, we give explicit lower bounds for L1 and B1-norms of non-harmonic trigonometric polynomials. If the polynomials have only zero or one as coefficients, we deduce a logarithmic lower bound for its L1 or B1-norms with respect to the number of terms. Afterwards, we look at non-harmonic trigonometric polynomials with gaps (between the frequencies) going to infinity. We give lower bounds for the L1-norm of such polynomials. Finally, we investigate two particular trigonometric polynomials: Lacunary and polynomials with frequencies having multidimensional structure. We extend multiple results from the integer to non-integer case. We obtain lower bounds for B1-norms of such polynomials.
Nous étudions les polynômes trigonométriques à la fois dans le cadre harmonique et non-harmonique (non-périodique). Plus précisément, nous nous intéressons aux bornes inférieures au sens de la norme L1 et de la norme B1 (de Besicovitch) de ces polynômes. D’abord, nous considérons les polynômes trigonométriques avec des fréquences quadratiques et des coefficients complexes. Nous étendons ainsi les résultats précédents sur les polynômes ayant seulement zéro ou un comme coefficients. Pour les polynômes à coefficients monotones et uniformément bornés, nous obtenons une minoration de la norme L1 par la racine du nombre de termes. Ensuite, nous donnons aussi des bornes inférieures explicites pour les normes L1 et B1 de tels polynômes. Lorsque les polynômes n’ont que zéro ou un comme coefficients, nous en déduisons une minoration de la norme L1 ou B1 par le logarithme du nombre de termes. Nous nous intéressons aussi aux polynômes trigonométriques non-harmoniques tels que les différences successives entre les fréquences tendent vers l’infini. Nous donnons des minorations de la norme L1 pour de tels polynômes. Enfin, nous étudions deux types de polynômes trigonométriques. D’une part ceux dont les fréquences sont lacunaires et d’autre part, ceux dont les fréquences ayant une structure multidimensionnelle. Nous étendons plusieurs résultats du cas entier au cas non-entier. Nous obtenons des bornes inférieures pour la norme B1 pour de tels polynômes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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