Elliptic resolvents and Stickelberger elements.
Résolvantes elliptiques et éléments de Stickelberger.
Résumé
In the cyclotomic situation, the classical Stickelberger theorem provides us with annihilators of the ideal class group of cyclotomic fields. The proof of this theorem essentially relies
on determining the prime ideal factorization of Gauss sums. In a relative situation, that is, when replacing the field of rational numbers with any number field. The major obstacle
to obtaining a Stickelberger theorem is the lack of a natural generalization of Gauss sums. Starting from an elliptic curve defined over this number field, endowed with a rational prime
order point on this field, we construct resolvents. These resolvents generalize cyclotomic Gauss sums in this case. We determine their prime ideal factorization which reveals a quadraticStickelberger element. This allows us to deduce annihilators of certain ideal class groups. The minimal discriminant of the curve is obtained as a product of these sums. This last resultis an analogue of Hasse's identity.
Dans la situation cyclotomique le théorème de Stickelberger classique nous fournit des annulateurs du groupe des classes d'idéaux des corps cyclotomiques. La démonstration de ce théorème repose essentiellement sur la détermination de la factorisation en produit d'idéaux premiers des sommes de Gauss. Dans une situation relative, c'est-à-dire, Lorsqu'on remplace le corps des nombres rationnels par un corps de nombres quelconque. L'obstruction majeure à l'obtention d'un théorème de Stickelberger est l'absence d'une généralisation naturelle des sommes de gauss. A partir d'une courbe elliptique définie sur ce corps de nombres, monie d'un point d'ordre premier rationnel sur ce corps, on construit des résolvantes. Ces résolvantes généralisent les sommes de Gauss cyclotomiques dans ce cas. On détermine leur factorisation en produit d'idéaux qui fait apparaître un élément de Stickelberger quadratique. On en déduit des annulateurs de certains groupes de classes d'idéaux. Le discriminant minimal de la courbe s' obtient comme un produit de ces sommes. Ce dernier résultat est un analogue de l'identité de Hasse.