Multiple linear-circular regression: Application to differential positioning
Régression linéaire-circulaire multiple : Application au positionnement différentiel
Résumé
This thesis is dedicated to the estimation of the parameters of the multiple linear-circular regression model. For such a model, the response is circular and defined between −pi and pi and the predictors are linear. In this work, several sensors provide noisy observations of the response. The noise is assumed to be distributed according to a von Mises distribution with a concentration parameter that models the accuracy of the sensors. The estimators proposed in this thesis are maximum likelihood estimators that merge the observations provided by the sensors. These estimators are not direct as in the linear case and require iterative algorithms for maximizing a contrast function. In this thesis, we first propose an estimator of the parameters of the linear-circular regression and then we generalize this estimator to the case of the multiple circular regression in a second step. We show that the theoretical performances of these estimators defined in the circular domain reach the Cramer Rao Lower bounds of the multiple regression parameters estimation in the linear domain. We also show that the proposed estimators merge, in the sense of the weighted sum, the measurements provided by the different sensors.
The contrast function of our estimators presents several global and local maximums. As in the linear domain, the accuracy of the estimate depends on the number of observations in the regression. On the other hand, in the circular domain, the identifiability of the regression parameters is linked to the contrast function. The shape of the contrast function, which presents several global and local maxima, depends on the regressors. We show that, under certain conditions related to the value of the regressors, the contrast function has only one global maximum and the the local maximums are easily distinguishable from the global maximum. In this case the estimator surely converges to the values of the regression parameters. We define the convergence conditions of our estimators for our application which is the GNSS positioning. For this application the sensors are the different visible satellites used for positioning.
This work is applied to precise differential GNSS positioning. We show that the phase difference between the GNSS signals perceived by a reference antenna and an antenna to be located evolves according to a multiple linear-circular regression. The parameters of this regression are the relative position of the antenna to be localized with respect to the reference antenna. We show on real and simulated data that the positioning accuracy obtained by the proposed approach reaches the millimeter level for a phase observation time of 9 ms.
Cette thèse est dédiée à l’estimation des paramètres du modèle de régression linéaire-circulaire multiple. Un tel modèle présente une réponse circulaire, définie entre −pi et pi, et plusieurs prédicteurs linéaires. Dans ce travail, plusieurs capteurs fournissent des observations bruitées de la réponse. Le bruit est supposé être distribué selon une distribution de von Mises avec un paramètre de concentration qui modélise la précision des capteurs. Les estimateurs proposés dans cette thèse sont des estimateurs du maximum de vraisemblance qui fusionnent les observations fournies par les capteurs. Ces estimateurs ne sont pas directs comme dans le cas linéaire et nécessitent des algorithmes itératifs pour maximiser une fonction de contraste. Dans ce travail de thèse, on propose dans un premier temps un estimateur des paramètres de la régression linéaire-circulaire puis on généralise cet estimateur au cas de la régression circulaire multiple dans un deuxième temps. On montre que les performances théoriques de ces estimateurs définis dans le domaine circulaire atteignent les bornes de Cramer Rao de l’estimation des paramètres de la régression multiple dans le domaine linéaire. On montre aussi que les estimateurs proposés fusionnent, au sens de la somme pondérée, les mesures fournies par les différents capteurs.
Les fonctions de contraste de nos estimateurs possèdent plusieurs maximums globaux et locaux. Comme dans le domaine linéaire la précision de l’estimation dépend du nombre d’observations de la régression. Par contre dans le domaine circulaire l’identifiabilité des paramètres de la régression est liée à la fonction de contraste. La forme de la fonction de contraste, qui présente plusieurs maximums globaux et locaux, dépend des régresseurs. On montre que sous certaines conditions liées à la valeur des régresseurs, la fonction de contraste n’a qu’un seul maximum global et des maximums locaux facilement distinguables du maximum global. Dans ce cas l’estimateur converge sûrement vers la valeur des paramètres de la régression. On définit les conditions de convergence de nos estimateurs pour notre application, qui est le positionnement GNSS. Pour cette application les capteurs sont les différents satellites visibles utilisés pour le positionnement.
Ce travail est appliqué au positionnement GNSS différentiel précis. On montre que la différence de phase entre les signaux GNSS perçus par une antenne de référence et une antenne à localiser évolue suivant une régression linéaire-circulaire multiple. Les paramètres de cette régression sont la position relative de l’antenne à localiser par rapport à l’antenne de référence. On montre sur données réelles et sur données simulées que la précision du positionnement par l’approche proposée est millimétrique pour un temps d’observation de la phase de 9 ms.