Toeplitz matrices in the d-dimensional case: asymptotic expansion to order d. Extension of positive-type functions in the d-dimensional case and maximum entropy: application to density reconstruction.
Matrices de Toeplitz dans le cas d-dimensionnel : développement asymptotique à l'ordre d. Extension de fonctions de type positif dans le cas d-dimensionnel et maximum d'entropie : application à la reconstruction de densités
Résumé
In the two first chapters we are concerned with the prediction of the a second order stationnary process. Here the information depends on a part of past. The main aspect of these paper is the use of hilbertian technics based on Toeplitz and Hankel operators.
In the following three papers, we deal with an old Szego's problem on the expansion of the determinant of Toeplitz matrix.
We give in the multidimensionnal case a more precise expansion (of the trace of the inverse with order d).
Moreover the knew coefficients which appear are strongly related with geometrical invariants of the domain on witch the the Tceplitz operators are truncated.
In the last two papers knew results about reconstruction of the spectral densities in the multidimentional case are given.
The methods are based on extensions of positive defined function and maximum entropy principle.
This work is motivated by the problem of the determinaton of the phases of the electron density function in crystal analysis.
Nevertheless, there is still a great amount of work to be done in order to solve this problem.
Cette thèse est composée de sept articles:
I. Les deux premiers articles traitent de la prédiction d'un d'un processus stationnaire du 2° ordre ; La prédiction s'effectue relativement à une information provenant d'une partie du passé. L'aspect le plus important de ce travail est l'introduction d'opérateurs (de Toeplitz et de Hankel) qui permettent d'appliquer des techniques de géométrie hilbertienne.
II. Les trois articles qui suivent reprennent un problème de Szego lié à la prédiction linéaire de processus dépendant d'un paramètre discret. Nous considérons le problème dans le cas d-dimensionnel. Nous donnons un développement asymptotique de la trace de l'inverse de matrice de Toplitz correspondante jusqu'à l'ordre d. Les cofficients du développement dépendent alors du symbole (densité spectrale) et de mesures positives à support, selon l'ordre, le domaine de troncature de l'opérateur de Toeplitz (volume), les faces d'ordre un, …, les faces d'ordre d-1 (arêtes) et les sommets.
III. Les deux derniers articles sont consacrés à la reconstruction de densités de probabilité et de densités spectrales à l'aide d'extension de fonction de type positif et du principe du maximum d'entropie.
Ce problème provient de la cristallographie dont 1'un des objectifs est la reconstruction de la densité éléctronique de molécules. Nous montrons, dans le cas d'informations partielles (nombre fini de coefficients de Fourier) et de phases connues, que la reconstruction est possible dans le cas multidimensionnel (implantable dans les ordinateurs).
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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